1.7 مثالها و نتایج54
2.7 نتیجه گیری60
آ حل تحلیلی معادالت انتگرال ولترا به روش تقریب سری نیومن 61
ب کاربردهای معادلات انتگرال62
فهرست جداول
عنوانصفحه
1.7 جواب معادلهی 1.7 با روش کوادراتور ذوزنقهای تکراری (T) و روش کوادراتور ذوزنقهای تکراری با گام متغیر (VT) و گرههای (N)55
2.7 جواب معادلهی 1.7 با روش کوادراتور سیمپسون تکراری (S)57
3.7 جواب معادلهی 1.7 با روش کوادراتور سیمپسون تکراری با گام متغیر (VS)58
4.7 جواب معادلهی 1.7 با روش بلوکی (B) و روش بلوکی با گام متغیر (VB)59
فصل اول
1. مقدمه
1 .1 تاریخچه‌ی معادلات انتگرال
معادلات انتگرال یکی از مهمترین شاخههای ریاضی کاربردی است، که به‌واسطه‌ی تبدیل مسائل معادلات دیفرانسیل با مقادیر مرزی و اولیه به این معادلات ، اهمیت بسیاری دارند. بویس ریموند1 اولین کسی بود که نام معادلات انتگرال را بروی این دسته از معادلات قرارداد [1] ، ولی در عمل لاپلاس2 اولین کسی بود که در سال 1782 ، برای حل معادلات دیفرانسیل ، معادله‌ی انتگرال
F(x)=∫_(-∞)^(+∞)▒〖exp⁡(-xt)f(t)dt,〗
را مطرح نمود[1] . به دنبال آن، فوریه 3 در سال 1811، برای حل مسائل حرارت، آبل4 در سال 1823، در حل مسائل مکانیکی ، پواسون 5 در سال 1826، در تئوری مغناطیس و لیوویل 6 در سال 1823، در حل برخی معادلات دیفرانسیل، از معادلات انتگرال استفاده کردند . نیومن7 در سال 18701، مساله ی دیریکله (تعیین تابع f روی سطح S که درمعادله ی لاپلاس صدق کند) ، را تبدیل به یک معادله انتگرال نمود و نیز پوانکاره 8 در سال 1895 ، در بهبود حل معادلات انتگرال بسیار تاثیر گذار بود وی معادله انتگرال
x(s)=y(s)+λ∫_a^b▒〖k(s_1 〗 t)y(t)dt
را که متناظر با معادله ی دیفرانسیل با مشتقات جزئی
∇y+λy=x(s_1 t)
که منسوب به معادله ی حرکت موج می باشد ، مورد بررسی قرار داد ولترا9 در سال 1896، برای اولین بار نظریه ی عمومی معادلات انتگرال را ارائه نمود[1].
در سال 1900 ، ریاضی دان سوئدی به نام فردهلم 10 یک دسته بندی کلی از معادلات انتگرال خطی به فرم
(1. 1) h(s)=f(s)+λ∫_a^b▒〖k(〗 s_1 t)h(t)dt,
را ارائه نمود که شامل دسته بندی خاص از معادلات ولترا نیز بودند. در ادامه هیلبرت11 به تحقیق در مورد معاملات انتگرال پرداخت و برای حل این معادلات، فضای هیلبرت را تعریف نمود[1].
یکی از کارهای مهم ایشان ، فرموله کردن مسائل معادلات دیفرانسیل معمولی و جزئی با شرایط مرزی و اولیه به صورت یک معادله انتگرال بود و به این ترتیب حرکتی نو در حل این گونه معادلات به وجود آمد. به علاوه اصطلاح نوع اول و دوم که امروزه در معادلات انتگرال به کار می رود، اولین بار توسط هیلبرت پیشنهاد داده شد.

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

بسیاری از مسائل مهم ریاضیات و فیزیک به معادلات انتگرال منتهی می شوند سیستم های دینامیکی هم چون معادلات دیفرانسیل، معادلات انتگرال ، کنترل بهینه و غیره در تمامی زمینه های علوم مهندسی، مدل سازی و پیش بینی مانند تئوری های آنالیز تابعی و فرآیندهای تصادفی به کار می روند. نظر به اینکه حل تحلیلی رده هایی از معادلات انتگرال، به علت پیچیدگی و صرف وقت و هزینه، مقدور نیست یا حل آنها به آسانی امکان پذیر نیست لذا از رویکردهای عددی برای محاسبه ی جواب تقریبی این رده از معادلات استفاده می کنیم. بنابراین، به کارگیری روش های عددی در حل معاملات انتگرال اهمیت بسزایی دارند که یکی از روشهای عددی متداول و موثر روش تقریب بلوکی است.
تعریف 1.1.1 (معادلات انتگرال) به معادلاتی گفته می شود که در ان تابع مجهول، زیر یک یا چند علامت انتگرال ظاهر می شود. فرم کلی یک معادله انتگرال خطی به صورت زیر است.
(1 .2)
که در آن ، fتابع مجهول و k، g وh توابعی معلوم هستند. تابع هسته ی معادله ی انتگرال نامیده می شود. λ≠0 عددی حقیقی یا مختلط و a عددی حقیقی است. در معادله ی فوق ، حد بالایی انتگرال ممکن است عدد ثابت یا متغیر s باشد.[2]
1 .2 دسته بندی معادلات انتگرال
1.2.1 معادلات انتگرال فردهلم
به معادلات انتگرالی که در آنها دامنه ی انتگرال گیری ثابت باشد ، معادلات انتگرال فردهلم گفته می شود این معادلات به سه دسته تقسیم می شوند.
-اگر در معادله ی 1 .2. 0=h(s) باشد، معادله ی انتگرالی فردهلم نوع اول را خواهیم داشت.
-اگر در معادله ی 1. 2 ، 1=h(s) باشد ؛ معادله ی انتگرالی فردهلم نوع دوم را خواهیم داشت.
-اگر در معادله ی 1 .2 ،1=h(s) و 0=g(s) باشد ؛ معادله ی انتگرالی فردهلم نوع دوم همگن را خواهیم داشت.
1 .2. 2 معادلات انتگرال ولترا
اگر درمعادله ی 1 .2 کران بالای انتگرال متغیر s باشد، آن را معادله انتگرال ولترا گوییم ، دسته بندی معادلات ولترا مانند دسته بندی معادلات فردهلم می باشد [2].
1 .3 عملگرها
تعریف1. 3. 1 (عملگر) دو فضای برداری vوw را در نظر بگیرید عملگر12T ، قاعده ای است که به هر عضو V یک عضو یکتا درW را اختصاص می دهد.
دامنه ی T، زیر مجموعه ای از V است که T برروی آن تعریف می شود و بردT، زیر مجموعه ای از w است که به وسیله ی T تولید می شود.
تعریف 1 .3. 2 عملگرp_n:V→V_n را یک عملگر تصویر گوییم، اگر برای هر p_n (v)=v , v∈V_n
1 .4 معادلات انتگرال خطی
یک معادله انتگرال، خطی نامیده می شود اگر بتوان آن را به صورت عملگری
L(f(x))=g(x),
نوشت ، که در آن Lیک عملگر انتگرالی است که در معیار کلی عملگر خطی به صورت
L(c_1 f_1 (x)+c_2 f_2 (x))=c_1 〖L(f〗_1 (x))+c_2 〖L(f〗_2 (x)) c_2 , c_1 ϵR
صدق می کند.
1 .4 .1 معادلات انتگرال خطی منفرد
معادلات نوع اول یا نوع دوم زیر
y(x)=λ∫_(a(x))^(B(x))▒〖k(x_, 〗 t)y(t)dt
y(x)=f(x)+λ∫_(α(x))^(B(x))▒〖k(x_, 〗 t)y(t)dt
را که در آن حد پایین ، حد بالا یا هر دو حدود انتگرال گیری نامتناهی باشند، معادلات انتگرال منفرد13 می نامند. به علاوه اگر هسته ی معادلات انتگرال در یک نقطه یا در نقاط بیشتری از دامنه ی انتگرال گیری نامتناهی باشد نیز این گونه معادلات را معادلات انتگرال منفرد می نامند. به عنوان مثال
y(s)=x(s)+∫_0^∞▒e^(-ist) y(t)dt
x(s)=∫_0^x▒〖(y(t))/〖(s-t)〗^a dt; 0<a<1〗
نمونه هایی از معادلات انتگرال منفرد هستند.
1 .5 معادلات انتگرال غیر خطی
این دسته از معادلات انتگرال به دو بخش به صورت زیر تقسیم می گردند.
1 .5 .1 معادلات انتگرال فردهلم غیر خطی
این نوع معادلات انتگرالی که به معادلات14 معروفند، در دینامیک سیالات، الکترو مغناطیس و در بازنویسی مسائل مقدار مرزی غیر خطی به معادلات انتگرال، ظاهر می شوند معادلات انتگرالی همرشتاین چند بعدی در تبدیل معادلات دیفرانسیل بیضوی به معادلات انتگرالی ظاهر می شوند.
معادلات انتگرال فردهلم غیر خطی از نوع اول و دوم و سوم به ترتیب به شرح ذیل می باشند.
f(x)=λ∫_a^(b )▒〖k(x,〗 t,y(t))dt
y(x)=f(x)+λ∫_a^(b )▒〖k(x,〗 t,y(t))dt
y(x)=λ∫_a^(b )▒〖k(x,〗 t,y(t))dt
1 .5 .2 معادلات انتگرال ولترای غیرخطی
معادلات انتگرال ولترای غیرخطی از نوع اول و دوم به صورت زیر اند:
f(x)=λ∫_a^(b )▒〖k((x,〗 t)y(t))dt
y(x)=f(x)+λ∫_a^(b )▒〖k((x,〗 t)y(t))dt
ملاحظه 1 .5 .1 درحالتی که هسته به صورت k(s,t)y(t))=k(s,t)y(t) باشد ، معادله ی انتگرال غیرخطی تبدیل به معادله ی انتگرال خطی می شود[2]
1. 6 معادلات انتگرو- دیفرانسیل
این گونه معادلات ابتدا در اوایل سال 1900 توسط ولترا معرفی شدند. ولترا درحال مطالعه ی پدیده ی رشد جمعیت و بخصوص تاثیر وراثت بود که در تحقیق خود با این گونه معادلات مواجه شد و نام مذکور را برای آنها انتخاب کرد دانشمندان و محققین در پژوهش خود در کاربرد علوم در مواردی نظیر انتقال گرما، پدیده ی انتشار، پخش نوترون و غیره به حل این گونه معادلات نیاز پیدا کردند. در واقع، بسیاری از فرآیندهای فیزیکی را می توان با استفاده از معادلات انتگرو- دیفرانسیل15، مدل بندی نمود این معادلات در مسائل دیریکله ، پتانسیل ، تعادل تابشی وارتباط کشسان ظاهر می شوند . اطلاعات جامعی از کاربردهای معادلات انتگرال – دیفرانسیل را می توان به مراجع [3]، [5]و[7] یافت.
دراین گونه معادلات تابع مجهول در دو طرف معادله ظاهر می شود در یک طرف زیر علامت انتگرال و در طرف دیگر به عنوان یک مشتق معمولی نمایان می شود که این معادلات نیز به دو دسته ی معادلات انتگرال- دیفرانسیل فردهلم و ولترا تقسیم می شوند، شکل کلی معادلات انتگرال- دیفرانسیل فردهلم به صورت زیر می باشد.
D_y (x)=f(x)+λ∫_a^(b )▒〖k(x〗,t)y(t)dt
y^((j) ) (0)=γ_(j,) 0≤j≤m-1
که در آن D عملگر خطی مشتق به صورت زیر می باشد.
D=∑_(i=0)^m▒〖f_i (x)〗 d^i/〖dx〗_i ,
و f_0 (x),f_1 (x),……,f_m (x)توابع پیوسته روی بازده ی [a,b] می باشند.هرگاه به جای مقادیر ثابت b، متغیر x را در حد بالای انتگرال گیری قرار دهیم، به معادله ی انتگرال- دیفرانسیل ولترا تبدیل می شود.
1 .7 گسسته سازی انتگرال با رویه کوادراتور
اساس هر روش عددی برای حل معادلات انتگرال، قواعد انتگرالگیری عددی است. فرض کنیم Q:X→R یک عملگر انتگرالی باشد که با Qf=∫_a^b▒〖f(t)〗 dt داده شود. قاعده کوادراتور، نامی عمومی است که به هر روش عددی که انتگرال فرضی فوق را تقریب می زند، داده می شود، کوادراتور Q_m:X→R را به صورت زیر تعریف می نماییم.
Qf≈Q_m f=∑_(j=1)^m▒〖w_j f(t_j ),〗
که در آن {t_j,j=1,……,m} گروه های تقریب، {w_j,j=1,……,N} وزن های کوادراتور می باشند. علاوه بر این فرض کنیم k_m یک عملگر تقریب k بر پایه Q_m باشد. داریم:[3]
k[f](x)≈k_m [f](x)=λ[k(x,0)]=λ∑_(j=1)^m▒〖k(x,t_j )f(t_j ).〗

فصل 2
تقریب و درونیابی

پایههای انتخاب شده در این پایان نامه پایه های لاگرانژ هستند، که از نوع چند جمله ای های جبری می باشند . دلیل عمده ی استفاده از چند جمله ای جبری، تقریب یکنواخت توابع پیوسته با این توابع می باشد در زیر ، قضیه ی وایراشتراس این خاصیت را نشان می دهد.
قضیه 2 .0 .1 (قضیه ی تقریب وایرشتراس)16
هرگاه f بر [a,b] تعریف شده و پیوسته باشد و ε>0 مفرض باشد ، آن گاه چند جمله ای مانند P(x) وجود دارد که به طوری که
|f(x)-P(x)|<ε ∀xϵ[a,b]
اثبات: مرجع [3] را ببینید.
2 .1 مساله ی درونیایی
فرض کنیم V یک فضای نرم دار روی اعداد حقیقی یا مختلط باشد و V_n یک زیر فضای n بعدی از V با پایه ی {v_1,v_2,…,v_n } باشد. هم چنین فرض کنیم
l_i∈C(V), 1≤i≤n
Nتابع پیوسته ی خطی و n, b_i,1≤i≤n عدد حقیقی یا مختلط باشند. هدف پیدا کردن u_n∈V_n به گونه ای است که شرایط درونیابی
l_i.(u_n )=b_i, 1≤i≤n
برقرار باشد.
تعریف 2 .1 .1 توابع l_i, 1≤i≤n ، روی V_n مستقل خطی اند اگر و تنها اگر رابطه ی زیر برقرار باشد:
∑_(i=1)^n▒〖a_i l_i 〗 (v)=0 , ∀v∈V_n⇒a_i=0 , 1≤i≤n
قضیه 2 .1 .2 روابط زیر معادل اند:
-مساله ی درونیاب، جواب یکتا دارد.
-توابع l_i, 1≤i≤n ، روی V_n مستقل خطی اند .
– تنها عنصر V_n که در معادله ی l_i u_n=0, 1≤i≤n صدق کند، عبارت است از u_n=0.
– به ازای هر دنباله ی {b_i }_(i-1)^n ، تنها یک u_n∈V_n وجود دارد به طوری که
l_i.u_n=b_i , 1≤i≤n
اثبات: مرجع[3] را ببینید .
حال مساله ی درونیاب را به صورتی دیگر بیان می کنیم.
تعریف 3.1.2 فرض کنیم Φ خانواده ای از توابع یک متغیر x با n+1 پارامتر a_0,a_1,…..,a_n باشد. مسالهی درونیایی عبارتست از یافتن پارامترهای a_0,a_1,…..,a_n در تابع Φ(x_(i:) a_0,a_1,…..,a_n) ، به طوری که برای زوج های (x_i,f_i ), i=0,1,…..,nداشته باشیم.
Φ(x_(i:) a_0,a_1,…..,a_n )=f_i, i=0,1,…,n
به علاوه باید شرط x_i≠x_j به ازای i≠j برقرار باشد به(x_i,f_i ), i=0,1,…..,n نقاط درونیاب می گوییم.
تعریف2 .1. 4 اگر Φ به صورت خطی به پارامترهای مجهول وابسته باشد مساله ی درونیاب خطی و در غیر اینصورت غیر خطی است. درصورتی که مساله ی درونیاب خطی باشد می توان نوشت:
Φ(x:a_0,a_01,…..,a_n )=∑_(i=0)^n▒〖a_i φ_i (x)〗
که در آن مجموعه φ_i (x), i=0,1,…,n را مجموعه ی مولد فضای درونیاب می گوییم.
در تعریف فوق اگر توابع مستقل خطی باشند پایه ای برای فضای درونیاب معرفی می کنند.رده های مختلفی از درونیابی وجود دارد که وابسته به انتخاب پایه ها مشخص می شوند مانند درونیابی نمایی و درونیابی از نوع چند جمله ای ، که در آنها به ترتیب مجموعه درونیاب به صورت
. می باشد φ_i (x)=x^i, i=0,1,…,n , φ_i (x)=x^ai.
درونیابی با استفاده از چند جمله ای ها ، به دلیل ساختار ساده ای که دارند، به آسانی در مشتق گیری، انتگرال گیری و تعیین ریشه به کار گرفته می شوند. یکی از خصوصیات چند جمله ای ها این است که درصورت متمایز بودن نقاط درونیابی، همیشه یک جواب منحصر به فرد وجود دارد.
2 .1 .1 درونیابی لاگرانژ17
فرض کنیم f تابعی پیوسته روی بازه [a,b] باشد و
Δ:a≤x_0<x_1<…<x_n≤b
افرازی از بازه [a,b] باشد. فضای توابع پیوسته از بازه ی [a,b] به میدان اعداد حقیقی یا مختلط را V=C[a,b] و فضای چند جمله ای های پیوسته درجه ی n از بازه ی [a,b] به میدان اعداد حقیقی یا مختلط را V_(n+1)=P_n تعریف می کنیم. شرایط درونیایی لاگرانژ درجه ی n از تابع f به صورت زیر داده می شود.
P_n (x_i )=f(x_i ), 0≤i≤n, p_n∈P_n
توابع خطی درونیاب به صورت زیر می باشند:
l_i f=f(x_i ), 0≤i≤n
و چند جمله ای های لاگرانژ به صورت زیر تعریف می شوند:
φ_i (x)=(∏_(k=0 ,k≠i)^n▒〖(x-x_k)〗)/(∏_(k=0 ,k≠i)^n▒〖(x_i-x_k)〗)
که در رابطه ی زیر صدق می کنند :
φ_i (x)=δ_ij={█(1,i=j@0,i≠j)┤
و درونیابی لاگرانژ به صورت زیر می باشد
p_n (x)=∑_(i=0)^n▒〖f(x_i)〗 φ_i (x)
رابطه ی فوق وجود مساله ی درونیاب لاگرانژ را نشان می دهد یکتایی مساله با استفاده از بند 3 قضیهی 2 .1 .2 اثبات خواهد شد. مرجع [3] را ببینید.
قضیه 2. 1. 5 (خطای درونیابی لاگرانژ) فرض کنیم f∈C^(m+1) [a,b] ، آنگاه ξ_xای بین min┬i⁡〖{x_i,x}〗و max┬i⁡〖{x_i,x}〗 وجود دارد به طوری که :
f(x)-p_n (x)=(w_n (x))/(n+1)! f^((n+1) ) (ξ_x ), w_n (x)=∏_(i=0)^n▒〖(x-x_i)〗
اثبات .مرجع [3] را ببینید.
2 .2 کوادراتور های عددی
انتگرال زیر را در نظر می گیریم
If=∫_a^b▒w(s)f(s)ds
که w(s) یک تابع وزن دار است. به طور کلی یک روش کوادراتور از هراطلاعاتی درباره ی تابع f(s) می تواند استفاده کند، ولی ما تنها حالتی را در نظر می گیریم که اطلاعات، به مقادیرf(s) در نقاط 〖{ξ〗_i:i=1,2,…,N} محدود باشد و تقریب Q به صورت زیر می باشد.
Qf=∑_(i=1)^N▒〖w_i f(ξ_i )=If-Ef〗
به 〖{ξ〗_i:i=1,2,…,N} ، نقاط (گره های ) کوادراتور و به 〖{w〗_i:i=1,2,…,N} وزن های کوادراتور گوییم. Ef خطای کوادراتور است [3]
نقاط و وزن های کوادراتور بایستی در مساله طوری انتخاب گردند که حتی الامکان تقریب در بعضی جملات دقیق باشد. دو روش مجزا برای انتخاب نقاط کوادراتور و وزن ها وجود دارد:
-نقاط و وزن ها در پیشرفت کار، برگزیده نمی شوند: مانند روش مونت کارلو
– نقاط و وزن ها در پیشرفت کار، متناسب با کلاسی از تابع داده شده، برگزیده می شوند.
کلاس از توابع R را در نظر میگیریم که f(s) به آنها تعلق داشته باشد ضوابط زیادی وجود دارند که منجربه قاعده ی مناسب می شوند دو روش که عمومیت بیشتری دارند عبارت اند از :
آ. قاعده ی بهینه 18به ازای هر N ، پارامترهایی از قاعده را انتخاب می کنیم که 〖sup〗_(f∈R) |If-Qf| مینیمم شود.
ب. روش از بین بردن خطا19زیر کلاس R0از R را انتخاب می کنیم، پارامترها در قاعده را باید طوری مرتب کنیم که به ازای هر |If-Qf|=0 ، f∈R_0 . کلاس نابودی قاعده ، R_0 است و پارامترهای قاعده ، نقاط و وزن ها می باشند هم چنین زیر کلاس رایج در روش (ب)، چند جمله ای ها هستند. در استفاده از این زیرکلاس ها به تعریف زیر نیاز داریم:
تعریف 2. 2. 1 فرمول کوادراتور دارای دقت درجه n است اگر به ازای هر چند جمله ای با درجه ی کمتر یا مساوی n، خطای انتگرال گیری برابر صفر شود.

2 .2 .1 چند کوادراتور عددی
در این بخش چند کوادراتور عددی که بیشتر با آن ها برخورد می کنیم بیان می شود.
کوادراتور درونیابی
فرض کنیمp_n (x) یک چند جمله ای درونیاب در نقاط (x_k,f(x_k )) باشد و l_x (x)، چند جمله ای لاگرانژ متناظر باشد. کوادراتور درونیابی برابر است با :
∫_a^b▒f(x)dx≈∫_a^b▒P_n (x)dx=∑_(k=0)^n▒f(x_k ) ∫_a^b▒〖l_k (x)〗 dx=∑_(k=0)^n▒〖w_k f(x_k)〗
که وزن ها، w_k=∫_a^b▒〖l_k (x)〗 dx و گره ها ، x_k ها می باشند. در صورتی که تابع را تغییر دهیم ، وزن ها تغییر نمی کنند، بنابراین وزن ها مستقل از تابع اند.
با استفاده از تغییر متغیر x=x_0+th داریم:
w_k=h∫_0^n▒∏_■(j=0@j≠k)^n▒〖(t-j)/(k-j) dt〗
بنابراین
w_k=((-1)^(n-k) h)/k!(n-k)! [t(t-1)…(t-k+1)(t-k-1)…(t-n)]dt
قضیه 2.2.2 فرض کنیم دریک فرمول کوادراتور، از 1+n نقطه ی متمایز استفاده شود.
دراین صورت فرمول کوادراتور فوق ، فرمول کوادراتور درونیابی است، اگر و تنها اگر دقت انتگرال گیری آن حداقل n باشد.
اثبات، مرجع [3] را ببینید.
کوادراتور نیوتن کاتس20
درصورتی که در کوادراتور درونیابی، گره ها متساوی الفاصله باشند؛ به کوادراتور حاصل، نیوتن کاتس گفته می شود. اگر گره ها شامل نقاط آغازی و پایانی باشند، به آن نیوتن کاتس بسته و در غیراین صورت، نیوتن کاتس باز می گوییم[3].
قضیه 2.2 .3 فرض کنیم ∑_(k=0)^n▒〖w_k f(x_k)〗 ، نیوتن کاتس باشد، دراین صورت به ازای هر n که
f∈C^2([n/2]+1) [a,b]
، ([] جزءصحیح است) داریم:
Ef=(h^2([n/2]+1) f^((2([n/2]+1)) ) (η))/2([n/2]+1)! ∫_B^n▒t^a (t-1)…(t-n)dt
اگر n زوج باشد، 2=a و اگر n فرد باشد ، 1= a می باشد. در صورتی که 0= Bنیوتن کاتس بسته است و اگر 1- =B ، نیوتن کاتس باز است و همواره ∫_β^n▒t^a (t-1)…(t-n)dt کوچکتر از صفر است.
اثبات.مرجع [3] را ببینید.
نتیجه 2. 2 .4 دقت انتگرال گیری در روش نیوتن کاتس، در صورتی که n فرد باشد، برابر n و در صورتی که n زوج باشد ، برابر 1+ n می باشد.

کوادراتور گاوسی
روش کوادراتورگاوسی، روشی است که درآن گره ها و وزن ها مجهول اند و بایستی طوری تعیین شوند که بالاترین دقت را داشته باشیم به عبارت دیگر در این روش، در حالی که تعداد گره ها ثابت است درجه ی دقت افزایش می یابد.
∫_a^b▒〖w(s)f(s)ds≈〗 ∑_(k=0)^n▒w_k f(x_k)
حل این مساله ی انتگرال گیری با ریشه های چند جمله ای های متعامد ارتباط دارد. این ارتباط در ادامه بیان می شود.
قضیه 2. 2. 5 فرض کنیم، π_n ، فضای چند جمله ای های درجه ی n، متعامد بر بازه ی [a,b] باشد. به ازای تابع وزن دلخواه w(s) ، دنباله ی چند جمله ای های منحصر به فرد
p(x)∈π_i , i∈N
وجود دارد به طوری که رابطه ی زیر برقرار است.
∫_a^b▒〖w(s) p_j (x) p_i (x)ds=0〗
اثبات : مرجع [3] را ببینید.
تعریف 2.2 .6 چند جمله ای های لژاندر به صورت زیر تعریف می شوند:
(k+1) p_(k+1)+(t)=(2k+1)tp_k (t)-kp_(k+1) (t),
p_0 (t)=1,p_1 (t)=t, t∈[-1 , 1]
این چند جمله ای ها بر بازه ی [-1 , 1] متعامد اند و از رابطه ی زیر بدست می آیند:
P_k (t)=(1 )/(2^k k!) d^k/〖dx〗^k (x^2-1)^k
تعریف 2 .2 .7 به ریشه های چند جمله ای های d^k/(dx^k ) x^k (x-1)^k، نقاط گاوسی21 گویند.
تعریف 2 . 2. 8 به ریشه های چند جمله ای های d^(k-1)/(dx^(k-1) ) x^(k-1) (x-1)^k ، نقاط رادو22 گویند.
تعریف 2 .2 .9 به ریشه های چند جمله ای های d^(k-1)/(dx^(k-1) ) x^(k-1) (x-1)^(k-1) ، نقاط لوباتو23 گویند.
ملاحظه 2.2. 10 در روش گاوس با تغییر متغیر x=(b-a)/2 t+(b-a)/2 بدست می آوریم:
∫_a^b▒f(x)dx=(b-a)/2 ∫_(-1)^1▒f((b-a)/2 t+(b-a)/2)dt
با قرار دادن g(t)=(b-a)/2 f((b-a)/2 t+(b-a)/2) داریم:
∫_a^b▒f(x)dx= ∫_(-1)^1▒〖g(t)〗 dt
فرمول گاوس برای دو نقطه به صورت زیر است:
∫_a^b▒f(x)dx≅(b-a)/2 [f((-√3)/3 (b-a)/2+(b+a)/2)+f((-√3)/3 (b-a)/2+(b+a)/2)]
و فرمول گاوس برای سه نقطه به صورت زیر در خواهد آمد:
∫_a^b▒f(x)dx≅(b-a)/18 [5f((b+a)/2-√3/5 (b-a)/2)+8f((b+a)/2)+5f((b+a)/2-√3/5 (b-a)/2)]
2. 3 دستورهای استفاده شده
-روابط قاعده ذوزنقه ای :
ذوزنقه ای ساده
∫_a^b▒f(x)dx=(b-a)/2 (f(a)+f(b))+(-1/12 (b-a)^3 f^(´´) (ξ))

ذوزنقه ای مرکب
∫_a^b▒f(x)dx=h/2 (f(a)+2∑_(i=1)^(n-1)▒〖f(x_i )+〗 f(b))+(-1/12 (b-a)h^2 f^(´´) (η))
که درآن
h=(b-a)/n
رابطه ی فوق بیان می دارد در صورتی که f∈c^2 [a,b] ، یعنی تابع و مشتقات آن تامرتبه ی دوم بر [a,b] پیوسته باشند، آنگاه خطای قاعده ی ذوزنقه ای مرکب از فرمول زیر بدست می آید:
ET(h)=∫_a^b▒f(x)dx-T(h)=-(b-a)/12 h^2 f^(´´) (η)
که درآنT(h)و ηϵ[a,b] تقریب ذوزنقه ای مرکب انتگرال است . خطای قاعده ی ذوزنقه ای مرکب متناسب با h^2 است و این قاعده برای چند جمله ای های حداکثر از درجه ی اول دقیق است . اگر M_2 یک کران بالا برای 〖|f〗^(´´) (x)| باشد ، یعنی :
max⁡|f^(´´) (x)|≤M_2 a≤x≤b
آنگاه داریم:
بنابراین در محاسبه به روش ذوزنقه اگر بخواهیم که |ET(h)|<ε باشد، کافیست h را چنان بدست آوریم که :
(b-a)/12 h^2.M_2<ε
⇒h^2<(12 ε)/(M_2 (b-a))⇒h√((12 ε)/(M_2 (b-a)))
-روابط قاعده ی نقطه ی میانی :
نقطه ی میانی ساده
∫_a^b▒f(x)dx≅b-a [f((b+a)/2)+(1/24 〖(b-a)〗^3 f^(´´) (ξ))]
نقطه ی میانی مرکب
∫_a^b▒f(x)dx=h(∑_(i=1)^(n-1)▒f(x_i+h/2) )+(1/24(b-a)h^2 f^(´´) (η))
که درآن
h=(b-a)/n
رابطه ی فوق بیان می دارد که خطای قاعده ی نقطه ی میانی مرکب از فرمول زیر بدست می آید:
EM(h)≅(b-a)/24 h^2 f^(´´) (η)⇒|EM(h)|≤((b-a))/24 h^2 M_2
که در آن η∈[a,b] و M(h) تقریب نقطه ی میانی مرکب انتگرال است و M_2 یک کران بالا برایmax⁡|f^(´´) (x)| در بازه ی [a,b] می باشد.
– روابط قاعده ی سیمپسون:
سیمپسون ساده
∫_a^b▒f(x)dx=(b-a)/6 (f(a)+4f((b+a)/(2 ))+f(b))+(-1/120 (b-a)^5 f^((4)) (ξ))
سیمپسون مرکب
∫_a^b▒f(x)dx=h/3 (f(a)+2∑_(i=1)^(n-1)▒〖f(x_(2i-1) )+〗 4∑_(i=1)^(n-1)▒〖f(x_2i )+〗 f(b))+(-1/180 (b-a)h^4 f^((4)) (η))
که درآن
h=(b-a)/2n
رابطه ی فوق بیان می دارد خطای قاعده ی سیمپسون مرکب از فرمول زیر بدست می آید:
ES(h)=-((b-a))/180 h^4 f^((4) ) (η)
که در آن η∈[a,b] و S(h) تقریب سیمپسون مرکب انتگرال است . خطای قاعده ی سیمپسون مرکب متناسب با h^4 است و این قاعده برای چند جمله ای های تا درجه ی سوم دقیق است. ازاین کهη مشخص نمی باشد و در عمل قرار می دهیم :
max⁡|f^((4) ) (η)|≤M_4 a≤x≤b
آن گاه داریم :
ES(h)≤((b-a))/180 h^4 M_4
بنابراین در محاسبه به روش سیمپسون اگر بخواهیم |ES(h)|<ε باشد ، کافیست hرا چنان اختیار کنیم که:
((b-a))/180 h^4 M_4<ε ⇒h^4<ε180/(M_4 (b-a))⇒h<∜(ε180/(M_4 (b-a)))

فصل سوم
روش گام های متغیر
درروش های کوادراتور با گام ثابت بازه ی مورد نظر a≤s≤b به N زیر بازه مساوی و یکسان با طول گام h=((b-a))/nتقسیم شده و برای حل معادلات انتگرال ، در مجموعه نقاط مجزای a+ih, i=1 ، 2،…،N پیش خواهیم رفت.
بنابراین برای دستیابی به نوعی تقریب دقیق تر یعنی
|x(a+ih)-x_i |<ε, i=1 ، 2،…،N,
نیاز داریم که مساله به صورت متوالی با طول گام های کوچکتر، تا زمانی که دو مجموعه تقریب های متوالی به دقت لازم برسند، حل شود. در قیاس با جواب عددی معادلات دیفرانسیل معمولی، روش های با طول گام متغیر برای تعیین جواب معادلات انتگرال ولترای نوع دوم در هر مرحله از محاسبات ، سعی درانتخاب طول گام بهینه که محک خطای فوق را برآورده کند، دارند [4و5] . خوشبختانه، این گونه تخمین اجرایی نیاز به بررسی دوباره محاسبات را رفع می کند و هم چنین انتخاب یک “طول گام بهینه” در هر مرحله نسبت به حالت طول گام ثابت به شرطی که انتخاب سرجمع پارامترها خیلی بزرگ نباشند، به صرفه تر خواهد بود.
یک روش با طول گام متغیر، در هر گام از جواب معادلات تقریبی نیاز به برآوردی از خطای محلی، یعنی خطای جمله صرف نظر شده و در قاعده کوادراتور که جمله انتگرال را در معادله ی

جایگزین می کند، دارد.
یاد آور می شویم که در حالت کلی فرم معادله انتگرال غیر خطی ولترای نوع دوم به صورت فوق است . فرض کنیم بازده [a,b] به N زیر بازه ی (لزوما غیر یکسان ) {h_i } که در آن
h_i=s_(i+1)= s_i i=0 ، 1،…, N-1
با
a=s_0<s_1<s_N=b_0
افراز شده باشد . روش های با گام متغیر با تقریب جمله انتگرال 3 .1 برای
s=s_i, i=1,…, N
با یک قاعده کوادراتور به صورت
∫_a^(s_i)▒〖k(s_i,t,x(t))dt≈〗 ∑_(j=0)^i▒〖w_(ij ) k〗 (s_i,t_j,x(t_j )) (2.3)
که در آن
t_i=s_i, i=1,…, N
w_(ij )=w_(ij ) (h_j,h_(j-1),…,h_0 ), i=1,…, N, j=0،1,…, i
پیش خواهد رفت. قاعده ی کوادراتور فوق منجر به مجموعه معادلات زیر خواهد شد:
x(s_0)=y(s_0)
که به نوبت معادلات تقریبی زیر را پدید خواهد آورد.
x(s_0)=y(s_0),
x_i=y(s_i )+∑_(j=0)^i▒〖w_ij k(s_i,t_j,x_j ), 〗 i=1، 2،…وN
حال دو مساله مطرح خواهد شد.
-انتخاب مقادیرw_ij منجر به قواعد تقریب مراتب بالاتر، به دلیل غیر یکسان بود ن گام های h_i بسیار مشکل تر است.
-ما به تخمین خطای محلی که انتخاب “بهترین” طول گام h_(i-1) را برآورده می سازد، نیاز خواهیم داشت.
مشکل اول را با محدود کردن تعداد تغییرات طول گام (یعنی ، با قرار دادن یک طول گام ثابت برای یک گروه از گام ها) به آسانی رفع نمود. ما دراین پژوهش برای راحتی کار تنها به روشی توسط فیلیپس24 که در سال 1977 بر پایه ی قاعده ذوزنقه ای ارائه شده است ، اکتفا می کنیم و هم چنین روش را تنها برای معادلات خطی در نظر می گیریم.
ایده ی این روش بدین صورت است که جمله انتگرال واقع در 3. 1 را برای s=s_i با یک قاعده ی کوادراتور به فرم 3. 2 ، که در آن
w_i0=1/2 h_0
w_ij=1/2 (h_(j-1)+h_j ), j=1، 2،….، i-1
w_ij=〖1/2 h〗_(i-1 )
می باشند، جایگزین می کند [4 و 5] . با این کار تخمینی از x(s_i) به صورت x_i به شکل زیر داده می شود
(1-1/2 h_(i-1) K(s_i,s_i )) x_i=y(s_i )+∑_(j=0)^(i-1)▒〖〖1/2(h〗_(i-1)+h_j)k(s_i,t_j)x_j 〗
که در آن h_(-1)≡0 به منظور دستیابی به یک خطای تخمینی ، تخمین دوم از x(s_i) به صورت x ̃_i، با انتگرال گیری نخست روی بازه ی [a,s_(i-1) ] و سپس ری بازه ی [s_(i-1),s_i ] با طول گام 1/2 h_(i-1) ؛ در هر دو حالت با استفاده از قاعده ذوزنقه ای بدست خواهد آمد. بنابراین به تقریبی از x(s_(i-1/2) ) نیاز داریم که به صورت زیر داده می شود.
(1-1/4 h_(i-1) K(s_(i-1/2),s_(i-1/2) )) x_(i-1/2)=y(s_(i-1/2) )+∑_(j=0)^(i-2)▒〖〖1/2(h〗_(j-1)+h_j)k(s_(i-1/2),t_j ) x_j+〖1/2(h〗_(i-2)+〖1/2 h〗_(i-1))k(s_(i-1/2),t_(i-1) ) x_(i-1). 〗

سپسx ̃_i به صورت زیر داده خواهد شد
(1-1/4 h_(i-1) K(s_i,s_i )) x ̃_i=y(s_i )+∑_(j=0)^(i-2)▒〖〖1/2(h〗_(j-1)+h_j)k(s_i,t_j ) x_j+〖1/2(h〗_(i-2)+〖1/2 h〗_(i-1))k(s_i,t_(i-1) ) x_(i-1)+〖1/2 h〗_(i-1) k(s_i,t_(i-1) ) x_(i-1/2). 〗
حال با استفاده از تعدادی فرضیات موضعی کننده [فیلیپس 1977]، معادلات زیر نتیجه خواهند شد [4و 5]:
,1-,1-2 تعدادی فرضیات موضعی کننده ,فیلیپس 1977.، معادلات زیر نتیجه خواهند شد ,4و 5.:
.,h-i-1.K,,s-i.,,s-i…(x,,s-i..-,x-i.)=,j=0-i-1-,,A-j.-(i).,,h-j.-3.,1-,1-4.,h-i-1.K,,s-i-,1-2..,,s-i-,1-2….,x,,s-i-,1-2…-,x-i-,1-2…=,j=0-i-2-,,A-j.-(i)..,,h-j.-3.+,1-8.,,A-i-1.-,i..,,h-i-1.-3.(1-,1-4.,h-i-1. k,,s-i.,,s-i.).(x,,s-i..-,,x.-i.)=,,1-2.h-i-1.k,,s-i.,,t-i-,1-2…,x-i-,1-2..+,,1-2.h-i-,1-2..+,j=0-i-2-,,A-j.-,i…,,h-j.-3.+,1-4.,,A-i-1.-(i).,,h-i-1.-3..
که درآن 〖A_j〗^((i) ) و j=0,1,….,i,-1 ، متناظر باضرایب جملات خطای قاعده ذوزنقه ای با گام های معتبر بوده و به صورت زیر داده می شوند.
〖A_j〗^((i) )=(-1〖γ∂〗^2)/(12∂t^2 ) K(s_i,t)x(t)|■( j=0,1,….,i-1, @ t=ξ_j )┤
که در آن s_j≤ξ_j≤s_(j+1) قاعده ذوزنقه ای با گام های متغیر به کار برده شده روی بازه ی
[S_j,s_(j+2) ]=[S_j,s_(j+2) ]U[s_(j+1),s_(j+2) ]
ممکن است به عنوان قاعده ای تکراری روی قاب های با عرض h_(j+1),h_j و یا قاعده ای دو نقطه ای روی تک قاب با عرض 〖(h〗_j+h_(j+1)) در نظر گرفته شود. فیلیپس الگوریتمی برای تعیین مقادیر 〖A_j〗^((i)),j=0,1,…,t-1 را به صورت ترکیبی خطی از دو تقریب کوادراتور ارائه دادکه در واقع جمله ی خطای معادلات فوق را تعیین خواهد نمود و از آن مقداری «بهینه» برای h_(i-1) بدست خواهد آمد که خطای x_i ها را برای ما قبول می سازد فرض کنیم برای هریک h_(i-1),a∈(0,1) به گونه ای انتخاب شود که شرایط زیر برقرار باشند:
h_(i-1)≤|2a/(K(s_i s_i)),|
|〖A_j〗^((i)) h_j^3 |≤(εh_j (1-a))/(b-a), j=0,1,….i-1.
سپس نتیجه می گیریم که
1-1/2 h_(i-1) K(s_i,s_i)|≥1-a
و جمله خطا در معادلات اخیر به صورت زیر کران دار خواهد شد.
|∑_(j=0)^(i-1)▒〖〖A_j〗^((i) ) h_j^3 〗/(1-1/2 h_(i-1) (k(s_i,s_i)|≤ε|
بنابراین طول گام جدید h_(i-1) بایستی به گونه ای انتخاب شود که در رابطه زیر صدق کند
h_(i-1)<min(2a/(|K(s_i,s_i )|),((ε(1-a))/((b-a)〖A_(i-1)〗^((i) ) ))^ )

فصل چهارم
روش بلوکی
این گونه فرم کلاس روش های خود-آغاز کننده، بلوکی از مقادیر را تولید نموده و در آن حل مسائل با پیشروی یک گام در زمانی مد نظر نکرده بلکه هدف ایجاد قاعده ای روی حوزه ای کوچک که از نقاط روی ناحیه بزرگتر استفاده کرده، می باشد[4و5]. حال جواب 3. 1 را روی دامنه a≤s≤b با b-a=Nph در نظر می گیریم. یعنی بازه ی با طول [a,b] را به Nبازه ی مساوی تقسیم نموده و سپس هر کدام از این بازه ها را به p زیر بازهی با طول h افراز نموده ایم فرض کنیم مقادیر جواب تقریبی برای (r-1) بلوک نخست محاسبه شده باشند، سپس روش بلوکی 25 معمولی در r امین مرحله مجموعه تقریب های زیر را تولید خواهد نمود.
x_(p(r-1))+1,x_(p(r-1))+2,…,x_pr.
برای p(r-1)≤i≤pr, r=1,….N ، معادله ی 3. 1 را به صورت زیربازنویسی می کنیم
(4 .1)
x(a+ih)=y(a+ih)+∫_a^(a+p(r-1)h)▒k(a+ih,t,x(t))dt+∫_(a+p(r-1)h)^(a+ih)▒〖k(a+ih,t,x(t))dt,〗
حال اگر از قواعد کوادراتور زیر برای تقریب جمله انتگرال در 3 .1استفاده کنیم.
∫_a^(a+p(r-1)h)▒k(a+ih,t,x(t))dt≈∑_(j=0)^(p(r-1))▒〖w_ij k(a+ih,a+jh,x(a+jh))(4a)〗
(b4)
∫_(a+p(r-1)h)^(a+ih)▒〖k(a+ih,t,x(t))dt,〗≈h∑_(j=p(r-1))^pr▒〖w ̅_ij k(a+ih,a+jh,x(a+jh)),〗
(b4)

به مجموعه معادلات تقریبی زیر می رسیم
x_0=y(a),
x_i=y(a+ih)+∑_(j=0)^(p(r-1))▒〖w_ij k(a+ih,a+jh,x_j )+〗 h∑_(j=p(r-1))^pr▒〖w ̅_ij k(a+ih,a+jh,x_j ), i=p(r-1)+1,…,pr, r=1,…,N〗
توجه داریم که اگر w ̅_ij=0,j>i ، علاوه بر این ، وزن های w_ij به گونه ای فرض شده اند که قاعده کوادراتور نخست فوق خطای مرتبه ی p ام را داشته باشد و دقت محاسبات با انتخاب مناسب وزن های w ̅_ij حفظ شود.
مثال 4. 1 : فرض کنیم p=2 و r=n+1<N در این صورت معادلات اخیر فوق به فرم زیر در خواهد آمد [4و5]
(4. 2)
x_i=y(a+ih)+h∑_(j=0)^2n▒〖w_ij k(a+ih,a+jh,x_j )+〗 h∑_(j=2n)^(2n+2)▒〖w ̅_ij k(a+ih,a+jh,x_j ),i=2n+1,…,2n+1, 〗
که در آن x_1,….x_2n و x_0=y(a) را تعیین شده فرض می کنیم . نیز فرض کنیم وزن هایw_ij ، وزن های قاعده ی تکراری سیمپسون باشند. در این صورت قاعده ی کوادراتور ذکر شده (a4) خطای از مرتبه ی h^4 را خواهد داشت. واضح است که در صورتی که ، قاعده ی سیمپسون برای دستیابی به تقریب انتگرال های موجود در 4. 1 به کار می رود بنابراین یک تقریب مرتبه ی سوم را برای x(a+(2n+2)h) به دست می دهد که فرم 4. 2 با i=2n+2 را خواهد داشت. برای i=2n+1 به منظور اطمینان از دقت محاسبات، بایستی از یک قاعده ی کوادراتور سه نقطه ای به فرم (b4) با خطای ی مرتبه ی h^4استفاده کنیم. این قاعده با انتخاب وزن های زیر تحقق می یابد[4و5]
w ̅_(2n+1,2n)=5/12/w ̅_(2n+1,2n+1)=2/3/w ̅_(2n+1,2n+2)=-1/12(4. 3)

(انتخاب های فوق به گونه ای اختیار شده اند که قاعده ی کوادراتور(b4) برای مرتبه دوم دقیق باشد.)
معادلات (a4) با i=2n+1,2n+2 فرم زیر را خواهند داشت:
x_(2n+1)=y(a+(2n+1)h)+1/3 h∑_(j=0)^2n▒〖w_(2n+1,j) k(a+(2n+1)h,a+jh,x_j )+〗 1/12 h{■(5k(a+(2n+1)h,a+2nh,x_2n ) @+8k(a+(2n+1)h,a+(2n+1)h,x_(2n+1) ) @-k(a++(2n+1)h,a+(2n+2)h,x_(2n+2) ) (5a))┤
x_(2n+2)=y(a+(2n+2)h)+1/3 h∑_(j=0)^(2n+2)▒〖w_(2n+2,j) k(a+(2n+2)h,a+jh,x_j ) (5b)〗
که در آن
w_(2n+1,0)=w_(2n+1,2n)=1,
w_(2n+1j)=3-〖(-1)〗^j, 1≤j≤2n-1,
و
w_(2n+2,0)=w_(2n+2,2n)=1,
w_(2n+2j)=3-〖(-1)〗^j, 1≤j≤2n+1,
بنابراین درهر مرحله یک جفت معادلات غیرخطی را خواهیم داشت که بایستی با استفاده از یک روش تکراری حل شوند.
مثال 4 .2 : فرض کنیم معادله ی (b5) فرم تقریبی زیر را دارد:
∫_(a+2nh)^(a+(2n+1)h)▒k(a+(2n+1)h,t,x(t))dt≈h∑_(j=0)^(2n+2)▒〖w ̅_(2n+1,j) k(a+(2n+1)h,a+jh,x_j ) 〗
که در آن وزن های w ̅_(2n+1j) با معادلات 4. 3 داده می شوند حال اگر تقریب فوق را به صورت زیر در نظر بگیریم

دسته بندی : پایان نامه ارشد

پاسخ دهید