دانشگاه صنعتي اصفهان
دانشکده ‌‌‌فيزيك

بررسي اثر کازيمير با در نظرگرفتن شرايط مرزي به عنوان قيود ديراک
پايان نامه‌ کارشناسي ارشد
حسين مختارزاده
استاد راهنما :
دكتر احمد شيرزاد
آذرماه 88
دانشگاه صنعتي اصفهان
دانشکده ‌‌‌فيزيك
پايان نامه‌ کارشناسي ارشد رشته فيزيك آقاي حسين مختارزاده

تحت عنوان :
بررسي اثر کازيمير با در نظرگرفتن شرايط مرزي به عنوان قيود ديراک
در تاريخ 21/09/88 توسط کميته‌ تخصصي زير مورد بررسي و تصويب نهايي قرار گرفت:
1- استاد راهنماي پايان‌نامهدکتر احمد شيرزاد
2- استاد مشاور پايان‌نامهدکتر کيوان آقا بابايي ساماني
3- استاد مدعودکتر سيد اکبر جعفري
4- استاد ممتحن داخليدکتر فرهنگ لران
سرپرست تحصيلات تکميلي دانشکده دکتر فرهاد شهبازي
تشکر و قدرداني
سپاس خداوندي را که سخن وران از ستودن او عاجزند، و حساب‌گران از شمارش نعمت‌هاي او ناتوان، و تلاش‌گران از اداي حق او درمانده‌اند. خدايي که افکار ژرف‌انديش، ذات او را درک نمي‌کنند و دست غواصان درياي علوم به او نخواهد رسيد. پروردگاري که براي صفات او حد و مرزي وجود ندارد، و تعريف کاملي نمي‌توان يافت. مخلوقات را با قدرت خود آفريد، و با رحمت خود بادها را به حرکت در آورد و به وسيله‌ي کوه‌ها اضطراب و لرزش زمين را به آرامش تبديل کرد.
از او هدايت مي‌طلبم چون راهنماي نزديک است، و از او ياري مي‌طلبم که توانا و پيروز است، و به او توکل مي‌کنم چون تنها ياور و کفايت کننده است.
در ابتدا برخود لازم مي‌دانم که از خانواده‌ي عزيزم که درتمامي مراحل زندگي، مشوق و پشتيبان من بودند و مرا از حمايت خويش در تمام مراحل زندگي ام به خصوص در دوران تحصيلم محروم نکردند، تشکر و قدرداني‌ نمايم. درود بر مادرم، پدرم و همسر صبور و مهربانم. درودي که با فداکاري‌ها و فضل و بزرگواري آن‌ها برابري کند؛ و پاداش اعمال آن‌ها قرار گيرد. درود بر آنان تا زماني که سفيده‌ي صبح گريبان شب را مي‌شکافد و ستارگان طلوع و غروب مي‌کنند.
از زحمات استاد ارجمندم، جناب ‌آقاي دکترشيرزاد، به ‌خاطر راهنمائي‌هاي سودمند و حمايت هاي همه جانبه شان در طول انجام مراحل مختلف پژوهش، هم‌چنين جناب آقاي دکتر آقابابايي ساماني، که در اين امر، مشاور اين‌جانب بودند، کمال قدرداني را دارم.
سرانجام از تمام دوستاني‌که در شروع، ادامه و پايان‌يافتن اين ‌پايان‌نامه، من ‌را ياري‌کردند،و هم چنين از کارکنان محترم دانشکدة فيزيک، تشکر مي‌‌کنم.

كليه حقوق مادي مترتب بر نتايج مطالعات، ابتكارات و نو‌آوري‌هاي ناشي از تحقيق موضوع اين پايان‌نامه متعلق به دانشگاه صنعتي اصفهان است.
تقديم به:
بندگاني که نگهدار علم خداوندند و چشمه‌هاي علم الهي را جوشان مي‌سازند و جام محبت او را به همديگر مي‌نوشانند.
تقديم به:
نخستين آموزگاران زندگي ام پدر و مادر عزيز و فداکارم، آنان كه به من زيستن آموختند و هميشه مرا به بيشتر آموختن تشويق كرده اند.
تقديم به:
همسر صبور، دلسوز و مهربانم.
فهرست مطالب
فهرست مطالبهشت
چكيده1
پيش گفتار2
0-1 پيدايش اثر كازيمير2
0-2 هدف كلي3
0-3 محتواي پايان نامه4
فصل اول مقدمه 7
1-1 تاريخچه و مفهوم خلاء کوانتومي7
1-2 نيروهاي وان در والس8
1-3 مفهوم نيروي کازيمير10
1-4 نيروي کازيمير11
1-5 رهيافت هاي نيروي کازيمير11
1-5-1 رهيافت انرژي نقطه صفر12
1-5-2 رهيافت فشار تابشي نقطه صفر13
1-6 نيروي کازيمير و شرايط مرزي14
1-7 درک شهودي مقادير نيروي کازيمير14
1-8 نيروي کازيمير و هندسه اجسام15
1-9 اندازه گيري اثر کازيمير16
1-10 نيروهاي کازيمير و افت و خيزها18
1-10-1 نيروهاي مربوط به افت و خيزهاي کوانتومي18
1-10-2 نيروي کازيمير مربوط به افت و خيزهاي گرمايي20
1-11 معرفي اثر ديناميک کازيمير20
1-11-1 اثر ديناميک کازيمير و شرايط مرزي21
1-11-2 اثر ديناميک کازيمير و شکل سطح مرزها22
1-11-3 آزمايش هايي در مورد اثر ديناميک کازيمير22
1-12 مانسته اثر کازيمير در فيزيک کلاسيک23
1-13 نقش اثر کازيمير در شاخه هاي مختلف فيزيک23
فصل دوم کوانتش ميدان هاي اسکالر و الکترومغناطيس با استفاده از قيود ديراک25
مقدمه25
2-1 معرفي دستگاه هاي مقيد26
2-1-1 دستگاه هاي تکين و قيود26
2-1- 2 قيود نوع اول و نوع دوم29
2-1-3 کروشه ديراک30
2-2 کوانتش سيستم هاي مقيد30
2-3 کوانتش ميدان کلين گوردون در حجم محدود با استفاده از قيود ديراک32
2-3-1 حل معادله ميدان کلين گوردون32
2-3-2 کوانتش دستگاه بدون حل معادلات حرکت33
2-3-3 محاسبه ميدان کلين گوردون با شرط مرزي نويمان37
2-4 کوانتش ميدان الکترومغناطيس با استفاده از قيود ديراک در حجم محدود37
2-4-1 اصول کار37
2-4-2 کوانتش ميدان الکترومغناطيسي38
2-4-3 تعريف شرايط مرزي و محاسبه قيود39
2-4-4 اعمال قيود بر بسط مولفه هاي ميدان41
فصل سوم خلاء الکترومغناطيسي42
3-1 معرفي43
3-2 نوسانگر هارمونيک43
3-3 رابطه مدهاي ميدان و نوسانگر هارمونيک45
3-4 کوانتش مدهاي ميدان46
3-5 ميدان در فضاي آزاد47
3-6 ضرورت ميدان خلاء49
3-7 اثر کازيمير50
فصل چهارم نيروي کازيمير براي ميدان هاي اسکالر و الکترومغناطيس54
4-1 ميدان اسکالر کوانتيده در فاصله محدود55
4-1-1 منظم سازي ميدان اسکالر با تابع نمايي56
4-1-2 منظم سازي ميدان اسکالر با تابعي ديگر58
4-2 نيروي کازيمير براي ميدان الکترو مغناطيس59
4-2-1 صفحات رساناي موازي59
4-2-2 به دست آوردن نيروي کازيمير ميدان الکترو مغناطيسي با استفاده از روش بررسي سازگاري قيود62
4-3 فشار تابشي خلاء: توضيح فيزيکي نيروي کازيمير66
فصل پنجم نيروي کازيمير براي يک ريسمان باز68
5-1 ريسمان باز در حضور ميدان مغناطيسي B69
5-2 معادلات ميدان، شرايط مرزي و قيود ريسمان70
5-3 انرژي نقطه صفر ريسمان75
5-4 منظم سازي انرژي نقطه صفر و محاسبه نيروي کازيمير76
5-5 حالت کلي ديگر77
5-6 نتيجه گيري78
مراجع79
چكيده
هدف اصلي اين پايان نامه پيوند بين دو مبحث دستگاههاي مقيد و اثر كازيمير مي باشد. نقطه مشترك اين دو مبحث مهم را مي توان در شرايط مرزي يافت. در اين تحقيق براي به دست آوردن نيروي کازيمير ميدان هاي كلين گوردون، الكترومغناطيس و ريسمان باز، از روش كوانتش سيستم هاي مقيد با در نظر گرفتن شرايط مرزي به عنوان قيود استفاده شده است. براي اين منظور پس از محاسبه سازگاري قيود مذكور با هاميلتوني کل و اعمال زنجيره کامل قيود بر بسط فوريه مولفه هاي ميدان مد هاي غير فيزيکي حذف شده و به فضاي فاز کاهش يافت دست مي يابيم. سپس با تبديل كروشه ديراك مدهاي باقي مانده به جابه جا گر، سيستم را كوانتومي مي کنيم و عملگر انرژي را بر حسب مدهايي فيزيکي بيان مي کنيم. منشا اثر کازيمير در مقايسه مدهاي حاضر در عملگر انرژي دستگاه داراي شرايط مرزي با دستگاه بدون مرز است. به بيان ديگر نشان مي دهيم که اعمال قيود ناشي از شرايط مرزي منجر به حذف برخي از مدها و ظهور نيروي کازيمير مي شود.
کلمات کليدي: اثرکازيمير، دستگاه هاي مقيد، شرايط مرزي، کروشه ديراک.
پيش گفتار
0-1 پيدايش اثر كازيمير
از زمان انتشار مقاله معروف كازيمير[1] مشخص گرديده است كه تغيير در طيف افت و خيزها (چه کوانتومي و چه گرمايي) توسط مرزهاي خارجي سبب ايجاد نوعي بر هم كنش مي شود. اثر كازيمير، در ساده ترين حالت، نيروي جاذبه بين دو صفحه صاف رساناي موازي است كه منشاء آن تغيير حالت خلاءالكترومغناطيسي توسط مرزها مي باشد. اگر بخواهيم در يك عبارت ساده منشاء ايجاد نيروي كازيمير را شرح دهيم بايد بگوييم كه: شرايط مرزي،‌ طيف ميدان كوانتومي ‌خلاء را تغيير مي دهد و اين تغيير طيف سبب پيدايش نيروي كازيمير مي شود.
اثر كازيمير يكي ازنتايج اصلي الكتروديناميك كوانتومي (QED) است. توجيه اين نيرو فقط در قالب الكتروديناميك كوانتومي امکان پذير است و هيچ گونه تفسير كلاسيكي از آن نمي توان يافت، به عبارت ديگر در حد كلاسيك(0??) نيروي كازيمير برابر با صفر مي شود[2].
اين اثر شامل نيرويي مي شود كه نه مي توان آن را اثر بار، ‌نه گرانش و نه رد وبدل كردن ذرات بين دو جسم دانست. يك كميت فيزيكي مهم در بحث نيروي كازيمير فشار تابش ميدان است. در غير از حالت تشديد،‌ فشار تابش داخل حفره كوچك تر از بيرون است و صفحه ها به طرف يكديگر جذب مي شوند و چون ثابت شده است كه در حالت تعادل ، مولفه هاي جاذبه كمي قوي تر از مولفه هاي دافعه هستند بنابراين براي دو
صفحه تخت كاملا موازي نيروي كازيمير از نوع جاذبه است.
گر چه اين نيرو فقط در فاصله هاي چند ميكروني قابل اندازه گيري است و مقدارش خيلي كوچك است ولي در فاصله هاي زير ميكرومتر، ‌قوي ترين نيروي بين دو جسم طبيعي به شمار مي رود. هر چند ما در زندگي خود به طور مستقيم با اين قبيل فاصله هاي كوچك سروكار نداريم اما اهميت اين فاصله ها در نانوساختارها و سيستم هاي ميكروالكترومكانيكي (MEMS) مشخص مي شود[3]. MEMS قابليت هاي فراوان كاربردي در علوم مهندسي دارد و يكي از عمده ترين موارد استفاده آن در حال حاضر در سنسورهاي فشار كيسه هواي اتومبيل ها است. از آن جا كه قطعات MEMS در ابعاد ميكرون و زير ميكرون ساخته شده اند، ‌نيروي كازيمير باعث اتصال عناصر كوچك اين قطعات خواهد شد. اين اثر را مي توان به نوعي از طريق فرضيه انرژي نقطه صفر (Zero Poin Energy) يا انرژي خلاء نيز بيان كرد. انرژي نقطه صفر به كوچك ترين انرژي امكان پذير در يك سيستم مكانيك كوانتومي گفته مي شود واگر بخواهيم رابطه آن را با نيروي كازيمير بيان كنيم بايد بگوييم كه : نيروي كازيمير مشهورترين اثر مكانيكي نوسانات خلاء است.
0-2 هدف كلي
پس از آن که بحث دستگاه هاي مقيد و کوانتش لاگرانژي هاي تكين نخستين بار توسط ديراك و برگمن مطرح شد، مقالات و مطالعات زيادي در اين مورد و كوانتش آنها انجام شد. با توجه به آنكه كوانتش اين دستگاهها با اعمال قيود روي فضاي حالتها انجام مي شود، (كه در مورد قيود نوع اول روي فضاي حالت نرمال و در مورد قيود نوع دوم در فضاي فاز كاهش يافته اعمال مي شود)، از كروشه هاي ديراك به جاي كروشه هاي پواسون بايد استفاده کرد و سپس آنها را به جاي جابه جاگرهاي كوانتومي تبديل کرد.
در پايان نامه [4]، كوانتش ميدان هاي اسكالر و الكترومغناطيس به طور كامل مورد بحث قرار گرفته است. در اين پايان نامه از نتايج مرجع[4] استفاده کرده و پس از در نظر گرفتن شرايط مرزي براي هر ميدان به عنوان قيود ديراک و بررسي سازگاري آنها و به دست آوردن هاميلتوني و همچنين با استفاده از کروشه هاي ديراک به جاي کروشه هاي پواسون، مؤلفه هاي ميدان محاسبه شده است. سپس با استفاده از مؤلفه هاي ميدان به دست آمده و هم ارزي اين معادلات ميدان با انرژي ميدان و هم چنين اعمال ويژه بسامدها، انرژي خلاء را از جمع روي همه مدهاي بردار موج و طول موج به دست مي آوريم كه به مقدار نامتناهي ? ? مي رسيم. براي متناهي كردن اين مقدار از چندين تکنيک منطم سازي(تابع نمايي ، تابع زتاي ريمان و تابع قطع) استفاده مي كنيم. در نهايت از اختلاف انرژي خلاء فيزيكي( اعمال شرايط مرزي) و انرژي خلاء آزاد (بدون در نظر گرفتن شرايط مرزي) انرژي كازيمير را به دست مي آوريم. يعني:

بايد توجه کرد كه هر تغيير در شرايط مرزي مقدار اين انرژي را تغيير مي دهد.در نهايت با محاسبه انرژي فيزيكي، نيروي كازيمير با مشتق گيري نسبت به فاصله به دست مي آيد.
روشي كه در بالا توضيح داده شد به طور اصولي در كليه ميدان هاي اسكالر و الكترومغناطيس به كار مي رود. همچنين در مقاله دهقاني و شيرزاد [5] هاميلتوني براي ريسمان باز چه در شرايط معولي و چه در شرايطي كه ميدان مغناطيسي B بر ريسمان وارد مي شود، به دست آمده است،كاري كه در اين تحقيق انجام شده است، همانند روش بالا انرژي خلاء را به دست آورده و با متناهي كردن آن توسط تابع زتاي ريمان و سپس مشتق گيري از آن، نيروي كازيمير در ريسمان باز چه در حضور ميدان مغناطيسي و چه در غياب آن را پيداکرده ايم.
0-3 محتواي پايان نامه
در فصل اول به طور مفصل به انرژي نقطه صفر، تاريخچه و مفهوم خلا كوانتومي ، پيدايش نيروهاي وان در والس و در نتيجه ايجاد نيروي كازيمير پرداخته شده است. و نشان داده شده است كه نيروهاي وان در والس را مي توان به انرژي نقطه صفر ربط داد. سپس رهيافت هاي مختلف در به دست آوردن نيروي كازيمير كه شامل رهيافت انرژي نقطه صفر و رهيافت فشار تابشي نقطه صفر است را مورد بررسي قرار داده و در هر دو رهيافت پس از بررسي اختلاف آنها به نيروي كازيمير رسيده ايم.
به مبحث مهم اثر ديناميك كازيمير در سه قسمت وابستگي اثر ديناميك كازيمير به شرايط مرزي، وابستگي آن به شكل سطح مرزها و اندازه گيري هاي تجربي اين اثر پرداخته شده است. مانسته اثر كازيمير در فيزيك كلاسيك و نقش اثر كازيمير در شاخه هاي مختلف فيزيك نيز در پايان اين فصل قيد شده است.
فصل دوم اين پايان نامه به معرفي دستگاه هاي مقيد، لاگرانژي هاي تكين، قيود نوع اول و دوم، قيود اوليه و ثانويه، كروشه هاي پواشون و ديراک و كوانتش ميدان هاي اسكالر و الكترومغناطيس اختصاص داده شده است كه اين كوانش در حجم محدود و با استفاده از قيود ديراك انجام شده است. در اين بخش از نتايج به دست آمده از مرجع [4] استفاده شده است. سپس از ميدان هاي به دست آمده در اين بخش،در فصل چهارم استفاده كرده نيروي كازيمير متناظر براي هر ميدان را به دست آورده ايم.
در فصل سوم اين پايان نامه، مفهوم خلاء الكترومغناطيس به طور اصولي مورد بحث قرار داده شده است. پس از بررسي نوسانگر هارمونيك و هاميلتوني و معادلات حركت آن، در پايان اين فصل با تعريف ميدان مناسب، و استفاده از تابع قطع براي متناهي كردن مقدار انرژي پتانسيل و همچنين فرمول جمع اويلر- ماكلارين نيروي كازيمير را به دست آورده ايم.
در فصل چهارم، در ابتدا نيروي كازيمير را براي يك ميدان كلين گوردون به دست آورده ايم. در بخش دوم اين فصل نيروي كازيمير را براي ميدان الكترومغناطيسي با استفاده از بسط مولفه هاي ميدان به دست آمده در فصل دوم به دست آورده ايم. با اين تفاوت كه در مبحث هاي جداگانه به طور مفصل منظم سازي انرژي حالت پايه را با تابع خفيف بسامدي، تابع زتاي ريمان و تابع قطع انجام داده ايم. در بخش سوم اين فصل نيز با استفاده از فشار تابشي خلاء به نيروي كازييمر بر واحد سطح دست يافته ايم.
فصل پاياني اين پايان نامه به محاسبه نيروي كازيمير براي يك ريسمان باز در حضور ميدان مغناطيسي اختصاص داده شده است. در آن جا به معرفي ريسمان باز، كنش ريسمان، معادلات ميدان، هاميلتوني و شرايط مرزي ريسمان همراه با قيود مربوط پرداخته ايم، سپس انرژي نقطه صفر ريسمان را به دست آورده ايم و در پايان نيروي كازيمير ريسمان را محاسبه كرده ايم. نتيجه مهمي را كه به آن رسيده ايم اين است كه اعمال ميدان مغناطيسي بر روي ريسمان به نيروي کازيمير ريسمان هيچ تاثيري وارد نمي کند. بنابراين ميدان مغناطيسي در نيروي كازيمير ريسمان ظاهر نمي گردد.

فصل اول
مقدمه
در اين فصل به بررسي انرژي نقطه صفر خلاء مي پردازيم. در اين فصل به تاريخچه و مفهوم خلا كوانتومي، پيدايش نيروهاي وان در والس و در نتيجه ايجاد نيروي كازيمير پرداخته ايم و نشان داده ايم كه نيروهاي وان در والس را مي توان به انرژي نقطه صفر ربط داد. سپس به مفهوم نيروي كازيمير با استفاده از تغيير خلاء كوانتومي و نوسانات خلاء و بحث فشار تابش ميدان پرداخته ايم و نشان داده ايم كه ميدان الكترومغناطيسي كوانتومي داراي انرژي نقطه صفر است و منشاء نيروي كازيمير، انرژي نقطه صفر مي باشد.
در بخش پنجم اين فصل رهيافت هاي نيروي كازيمير كه شامل رهيافت انرژي نقطه صفر و رهيافت فشار تابشي نقطه صفر است را مورد بررسي قرار داده و در هر دو رهيافت پس از بررسي اختلاف آنها (چه انرژي و چه فشار تابشي) به نيروي كازيمير رسيده ايم.
در بخش ششم اين فصل وابستگي شديد نيروي كازيمير به شرايط مرزي را همراه با مطالعاتي كه در اين زمينه انجام شده است قيد كرده ايم. در بخش هاي بعدي درك شهودي مقادير كازيمير را با همراه با چند مورد كاربردي آن و سپس اندازه گيري تجربي آن را كه توسط فيزيك دانان تجربي بسياري انجام شده است
ذكر كرده ايم .در بخش دهم نيروهاي كازيميري كه مربوط به دو نوع افت و خيزهاي گرمايي و افت و خيزهاي كوانتومي مي شود را همراه با مطالعات و مقالات مربوط به اين مورد توضيح داده ايم.
در بخش بعدي به مبحث مهم اثر ديناميك كازيمير در سه قسمت وابستگي اثر ديناميك كازيميرهمچون اثر ‌استاتيك كازيمير به شرايط مرزي ، وابستگي آن به شكل سطح مرزها و اندازه گيري هاي تجربي اين اثر مي پردازيم. در هر سه مورد فوق براي اثر ديناميك كازيمير محاسبات و آزمايشهاي گوناگوني را كه انجام شده است را ذكر كرده ايم.
در بخش دوازدهم اين فصل مانسته اثر كازيمير در فيزيك كلاسيك و در بخش پاياني اين فصل نقش اثر كازيمير را در شاخه هاي مختلف فيزيك از جمله نظريه ميدان كوانتومي ، فيزيك ماده چگال ،‌ فيزيك اتمي،‌ فيزيك مولكولي، كيهان شناسي و رياضي فيزيك قيد مي كنيم.
1-1 تاريخچه و مفهوم خلاء کوانتومي
بررسي هاي پلانک براي توجيه قوانين تابش جسم سياه که در سال 1890 آغاز شده بود نهايتاً او را به مفهوم گسستگي انرژي هدايت کرد. مفهوم انرژي نقطه صفر نيز به گونه اي به دنبال آن آمد. پلانک در سال 1900 اولين قانون خود را به صورت:
(1-1)
به دست آورد. در رابطه بالا U انرژي ميانگين يک تابش کننده با بسامد ? است که در تماس با منبع گرمايي به دماي T مي باشد. پلانک در سال 1912 دومين نظريه خود را ارائه کرد که در آن صراحتاً جذب انرژي توسط نوسان گر فرايندي کلاسيک بود ولي گسيل تابش به صورت بسته هاي انرژي و به طور گسسته بود. در اين تئوري يک نوسانگر، موقعي مي تواند تابش کند که به اندازه h? انرژي جذب کرده باشد. دومين قانون پلانک:
(1-2)
بود.اين رابطه در حد دماهاي بالا درست است و در حدنيز نتيجه مي دهد:
(1-3)
در واقع معادله(1-2) نقطه شروع مفهوم انرژي نقطه صفر بود. پس از آن در سال 1913 اينشتين و استرن با به کار بردن مفهوم انرژي نقطه صفر توجيه جديدي براي طيف پلانک ارائه کردند. از نظر تجربي کار مورليکن در سال 1924 اولين دليل قاطع بر لزوم وجود انرژي نقطه صفر بود. او با بررسي طيف و نشان داد که نتايج تجربي قابل توجيه نيستند، مگر اين که براي تراز n ام انرژي ارتعاشي نوسان گر با بسامد زاويه اي ? داشته باشيم:
(1-4)تصحيحات غير هماهنگ
در سال 1926 بورن، هايزنبرگ و جوردان اولين نظريه کوانتومي ميدان الکترومغناطيسي آزاد را ارائه کردند که در آن انرژي نقطه صفر پيش بيني شده بود. پس از آن توجيه اثر لمب، ناهنجاري ممان مغناطيسي الکترون، ظرفيت گرمايي جامدات و … که هر کدام لااقل تا حدودي به ميدان خلاء وابسته هستند، مفهوم انرژي نقطه صفر را در فيزيک تثبيت کرد[6].
1-2 نيروهاي وان در والس
به منظور توجيه رفتار گازها، در سال 1873 وان در والس معادله حالت زير را پيشنهاد کرد:
(1-5)
واندروالس ثابت b را به عنوان حجمي که مولکول ها اشغال مي کنند تعبير کرد و ثابت a را به يک نيروي جذبي اتم ها ربط داد. در اولين بررسي، وان در والس پتانسيل بر هم کنشي اتم را به صورت پيشنهاد کرد که در آن r فاصله دو اتم و A و B دو ثابت هستند.
چندي بعد کيسام براي دو مولکول قطبي با ممان دو قطبي الکتريکي ثابت که در فاصله r از هم و در تماس با منبع گرمايي به دماي T هستند، انرژي پتانسيل زير را به دست آورد:
(1-6)
دباي و ديگران متوجه شدند که در بسياري از گازهايي که مولکول هاي غيرقطبي دارند ثابت واندر والس مخالف صفر است. هم چنين دباي به اين نکته پي برد که بسياري مولکولها يک ممان چهارقطبي دارند که مي توانند يک دو قطبي در مولکول ديگر القاء کند. بر همکنش چهار قطبي- دو قطبي مستقل از دما است[6]. به هر حال هيچ کدام از اين حالت ها براي توجيه مقادير ثابت هاي واندر والس کافي نبودند.
لاندن [7] در سال 1930 با استفاده از نظريه اختلال کوانتومي، پتانسيل زير را به دست آورد:
(1-7)
که فرکانس گذار بين حالت پايه و اولين حالت برانگيخته اتم است و ? قطبش پذيري اتم است. حال مي خواهيم منشاء نيروي وان در والس را بيابيم و نشان دهيم که مي توان نيروي واندر والس- لاندن را به انرژي نقطه صفر ربط داد. براي اتم A در مکان xA با قطبش پذيري مي توان انرژي قطبيدگي ?A را با جمع روي سهم مدهايي با ميدان الکتريکي E، قطبش ? و بردار موج k، به دست آورد:
(1-8)
فرض مي کنيم ميداني که بر A عمل مي کند شامل ميدان مولکول B و ميدان خلاء کوانتومي است. اگرچه دو قطبي مولکول B مقدار متوسطي برابر صفر دارد ولي در هر لحظه صفر نيست بلکه حول مقدار صفر افت و خيز مي کند. ميداني که دو قطبي مولکول قطبش پذير B را مي سازد همان ميدان خلاء است. محاسبه نشان مي دهد که در فواصل کوتاه به انرژي پتانسيل لاندن مي رسيم:
(1-9)
و در فواصل بلند به انرژي پتانسيل کازيمير- پولدر مي رسيم:
(1-10)
که در آن r فاصله دو اتم قطبش پذيري آنها و بسامد گذار بين حالت پايه و اولين حالت برانگيخته اتم است. در هر دو حالت برهمکنش وان در والس را مي شود نتيجه ميدان افت و خيز کننده خلاء الکترومغناطيسي دانست[8].
ميدان خلاء يک دو قطبي در اتم ها القا مي کند و دو قطبي ها با هم بر کنش مي کنند. اين نتيجه اي است که کازيمير و پولدر در حين مطالعه کلوئيدها، که نيروي واندر والس در پايداري آنها نقش اساسي دارد، به دست آوردند. آنها در پايان مقاله خود[9] نوشتند که صورت ساده عبارت بالا ممکن است با روشي ساده تر از روش اختلال کوانتومي به دست آيد. آنها مسئله بر هم کنش يک اتم با يک صفحه فلزي در فاصله d را در نظر گرفتند و به دست آوردند که در فواصل نزديک پتانسيل بر هم کنش U به صورت زير رفتار مي کند:
(1-11)
و در فواصل دور به صورت زير تغيير مي کند:
(1-12)
حال اگر دو اتم همديگر را جذب کنند انتظار مي رود که دو دي الکتريک نيز همديگر را جذب کنند. محاسبه اي براساس بر هم کنش هاي دوتايي بين اتم ها حدود 80 درصد نيرويي را که امروزه به نام نيروي کازيمير مي شناسيم را نتيجه مي دهد. حلي که کازيمير ارائه داد در واقع تبديل يک مسئله چند جسمي به يک مسئله ميدان الکتروديناميک کوانتومي بودکه در آن ماده نقش ايجاد شرط مرزي براي ميدان کوانتومي را داراست.
1-3 مفهوم نيروي کازيمير
گرچه در نگاه اول نيروي کازيمير غامض به نظر مي رسد، اما در حقيقت به خوبي قابل فهم است.همه ميدان ها، خصوصاً ميدان هاي الکترومغناطيسي افت و خيز مي کنند. به عبارت ديگر در هر لحظه مقدار حقيقي آنها حول مقدار ثابتي يعني مقدار متوسط آنها افت و خيز مي کند. حتي يک خلاء کامل در صفر مطلق داراي ميدان هاي متغيري موسوم به نوسانات خلاء است که انرژي متوسط آنها متناسب با نصف انرژي يک فوتون است.
نوسانات خلاء نتايج قابل مشاهده اي دارند که به طور مستقيم در آزمايشهاي در مقياس ميکروسکوپي قابل مشاهده اند. براي مثال يک اتم براي مدت بي نهايت طولاني نمي تواند در حالت برانگيخته باقي بماند و مي تواند با انتشار يک فوتون به صورت خود به خود به حالت پايه اش باز گردد. اين پديده نتيجه اي از نوسانات خلاء است.
نيروي کازيمير، مشهورترين اثر مکانيکي نوسانات خلاء است[10]. اگر به طور فرض در دو آينه، فضاي بين دو صفحه آينه ها را به عنوان يک حفره در نظر بگيريم، تمام ميدان مغناطيسي داراي طيف مشخصه اي هستند که شامل بسامد هاي متفاوتي است. تمام اين بسامد ها در خلاء کامل از اهميت يکساني برخوردار هستند. اما در داخل حفره، يعني جائي که ميدان بين آينه ها به عقب و جلو بازتاب مي کند وضعيت متفاوت مي شود.
اگر مضرب صحيحي از نصف طول موج بتواند دقيقاً در داحل حفره قرار گيرد ميدان آن موج تقويت خواهد شد. اين ميدان در طول موجهاي ديگر به وضوح تضعيف مي شود. نوسانات خلاء برحسب اينکه بسامد آنها با بسامد تشديد حفره مطابق باشد يا نه، تقويت يا تضعيف مي شوند.
يک کميت مهم فيزيک در بحث نيروي کازيمير فشار تابش ميدان است. هر ميدان حتي خلاء نيز با خود انرژي حمل مي کند. تمام ميدان هاي الکترومغناطيسي مي توانند در فضا منتشر شوند و روي سطوح فشار وارد کنند. اين فشار تابش با انرژي و در نتيجه با بسامد ميدان الکترو مغناطيسي افزايش مي يابد. در بسامد تشديد (رزونانس) حفره، فشار تابش داخل حفره از بيرون آن قوي تر است و بنابراين آينه ها يکديگر را به عقب مي رانند. برعکس در غير حالت تشديد، فشار تابش داخل حفره کوچک تر از بيرون است و آينه ها به طرف يکديگر جذب مي شوند.ثابت مي شود که در حالت تعادل، مولفه هاي جاذبه کمي قوي تر از مولفه هاي دافعه هستند. بنابراين براي دو آيينه تخت کاملاً موازي نيروي کازيمير جاذبه است.
1-4 نيروي کازيمير
همان طور که گفته شد ميدان الکترومغناطيسي کوانتومي هم داراي انرژي نقطه صفر است. اين انرژي نقطه صفر منشاء نيروي کازيمير است.
در سال 1948، کازيمير که در آزمايشگاه تحقيقاتي فيليپس بر روي خواص محلول هاي کلوئيدي مطالعه مي کرد، سعي کرد براي نيروهاي وان در والس که عامل پايداري کلوئيدها است تعبير فيزيکي ارائه دهد. کازيمير پيش بيني کرد که دو صفحه فلزي موازي که در خلاء قرار دارند همديگر را جذب مي کنند[1]. او مستقل و بي اطلاع از کارهاي ديگران به نقش اساسي ميدان خلاء پي برد. بدين گونه که نيروي جاذبه بين اتم ها و مولکول هاي خنثي به وسيله نيروهاي وان در والس توصيف مي شود[11]. در ضمن نيروي بين ذرات کلوئيدي نيروي بلند برد واندروالس است. کازيمير و همکارانش متوجه شدند که تئوري واندر والس به تنهايي نمي تواند نتايج آزمايشگاهي را توجيه کند. بر اين اساس در سال 1948 کازيمير و پولدر نشان دادند که براي اين که نيروي دو اتم به درستي شرح داده شود بايد محدود بودن سرعت نور در نظر گرفته شود[9].
در همان سال کازيمير نشان داد نيروي بين دو صفحه فلزي با ابعاد جانبي بي نهايت را که در خلاء کوانتومي قرار دارند مي توان برحسب افت و خيزهاي ميدان الکترومغناطيسي کوانتومي بيان کرد.
کازيمير به اين نتيجه پي برد كه گرچه انرژي خلاء هم در فضاي آزاد و هم با حضور دو مرز فلزي، بي نهايت است، اما تفاضل اين دو مقدار متناهي است. به عبارت ديگر مقدار انرژي را که صرف آوردن يک صفحه به مساحت L2 از فاصله بي نهايت دور به فاصله متناهي d از يک صفحه ديگر مي شود، متناهي است و برابر است با:
(1-13)
به عبارت ديگر نيروي وارد بر واحد سطح صفحات برابر است با:
(1-14)
در رابطه (1-13)، d فاصله بين دو صفحه، ثابت پلانک تقسيم بر ?2 و c سرعت نور است.به هر حال اثرات کازيمير نشان دهنده ماکروسکوپيک نيروهاي وان در والس هستند که خود همين نيروها براساس تغيير انرژي نقطه صفر ميدان الکترومغناطيسي در حضور ماده قابل تعبير هستند.
1-5 رهيافت هاي نيروي کازيمير
از آن جا که صفحه ها در خلاء کوانتومي الکترومغناطيسي قرار دارند براي به دست آوردن نيروي کازيمير، ابتدا لازم است ميدان الکترومغناطيسي را کوانتيده کنيم.جزئيات در فصل سوم آمده است.
براي اين کار ميدان الکترومغناطيسي را برحسب توابع موج تخت بسط مي دهيم.ضرائب بسط عملگرهاي خلق و فناي کوانتومي مي باشند.هر جمله از بسط معرف يک مد است. مي توان نشان داد که انرژي هر مد چنين است:
(1-15)
اين رابطه شبيه انرژي نوسان گر هماهنگ کوانتومي است. در حالت n>|، تعداد کوانتوم هاي انرژي يا فوتونها n است و <0| حالت خلاء است.با وجود اين که هيچ فوتوني در حالت خلاءوجود ندارد ولي خلاء داراي انرژي است. بنابراين تئوري ميدان کوانتومي الکترومغناطيسي وجود انرژي نقطه صفر را اثبات مي کند.
منظور از افت و خيزهاي ميدان الکترومغناطيسي اين است که مقدار چشمداشتي ميدان الکتريکي E و مغناطيسي B در حالت n>| صفر مي شود ولي مقدار چشمداشتي مجذور ميدان ها صفر نمي شود.به همين دليل است که گفته مي شود ميدان کوانتومي الکترومغناطيسي داراي افت و خيز است[12].
از همان زمان انتشار مقاله معروف کازيمير[1] معلوم شد که تغيير افت و خيزهاي گرمايي يا کوانتومي توسط مرزهاي خارجي باعث ايجاد بر هم کنش مي شود.
Z=d Z=0
شکل( 1-1): صفحات فلزي موازي كه در خلاء الكترومغناطيسي قرار گرفته اند.
حال اگر به طور خلاصه بخواهيم نيروي کازيمير رابطه (1-13) را براي دو صفحه فلزي که به فاصله d از يکديگر و در خلاء قرار دارند و در شکل(1-1) مشخص شده اند (و ابعاد جانبي آنها باشد) محاسبه کنيم، براي اين کار دو رهيافت وجود دارد که آن ها را شرح مي دهيم.
1-5-1 رهيافت انرژي نقطه صفر
براي بررسي رهيافت انرژي نقطه صفر به اين نکته اشاره مي کنيم که در فضاي آزاد که هيچ صفحه اي در خلاء وجود ندارد تمامي مدها مجاز هستند. هنگامي که صفحه هاي فلزي را در خلاء قرار مي دهيم، شرط مرزي موجود بر روي صفحه هاي فلزي که صفر شدن مولفه مماسي ميدان الکتريکي و مولفه عمودي ميدان مغناطيسي بر روي صفحه ها مي باشد، سبب مي شود که در ناحيه خارج از صفحه ها همه مدها مجاز باشند ولي در ناحيه بين صفحه فقط مدهايي مجاز هستند که بسامد آنها به صورت زير باشد:
(1-16)
پس از آن انرژي نقطه صفر در داخل کاواک E(d) را به دست آورده،سپس با بزرگ در نظر گرفتنd، را محاسبه مي کنيم. (جزئيات در فصل هاي سوم و چهارم به طور کامل شرح داده مي شود).
در اين جا بايد خاطر نشان کنيم که انرژي E(d) و هر دو بي نهايت مي شوند. انرژي پتانسيل سيستم وقتي که صفحه ها در فاصله d از يکديگر واقعند: خواهد بود که U(d) انرژي لازم براي آوردن صفحات از فاصله بي نهايت به فاصله d از يکديگر است. پس از محاسبه U(d) کافي است که از U(d) نسبت به d مشتق بگيريم. در نتيجه نيروي کازيمير در واحد سطح صفحه ها جاذبه و به شکل خواهد بود[13].
1-5-2 رهيافت فشار تابشي نقطه صفر
رهيافت ديگري كه براي پيدا كردن نيروي کازيميروجود دارد، رهيافت فشار تابشي نقطه صفر است. ايده اي که در رهيافت فشار تابشي نقطه صفر به کار مي رود اين است که فوتون هاي مجازي خلاء تکانه خطي را حمل مي کنند.
منظور از k بردار موج مدي از ميدان است که فرکانس متناظر با آن ?=ck است. انعکاس فوتونها از روي قسمت خارجي صفحه هاي کاواک موجب مي شود که صفحه ها به سمت هم کشيده شوند، در صورتي که انعکاس فوتونها از روي قسمت داخلي صفحه هاي کاواک موجب مي شوند که صفحه هاي کاواک از هم دور شوند.
از آنجا که به خاطر اعمال شرايط مرزي بر روي صفحه هاي فلزي در خلاء بسامد هاي مجاز مدهاي داخل کاواک گسسته مي شوند، در نتيجه تعداد مدهاي ميدان نقطه صفر در خارج از کاواک بيشتر از تعداد مدهاي مجاز ميدان نقطه صفر در داخل کاواک خواهند بود، که نتيجه آن بزرگ تر بودن فشار وارد بر قسمت خارجي صفحه هاي کاواک نسبت به فشار وارد بر قسمت داخلي کاواک و کشيده شدن صفحه ها به سمت يكديگر است. محاسبه نشان مي دهد که اختلاف فشار تابشي نقطه صفر وارد شده بر قسمت خارجي صفحه هاي کاواک و فشار تابشي نقطه صفر وارد بر قسمت داخلي صفحه هاي کاواک برابر با نيروي کازيمير است[14]. جزئيات بيشتر در مورد فشار تابشي نقطه صفر در بخش 4-4آمده است.
1-6 نيروي کازيمير و شرايط مرزي
در اين بخش بايد به اين نکته اشاره کنيم که نيروي کازيمير شديداً به نوع شرط مرزي وابسته است.در سال 1974 بوير[15] نشان داد که نيروي بين يک صفحه فلز کامل و يک صفحه با تراوايي نامحدود، دافعه و برابر است با:
(1-17)
با استفاده از تقارن معادلات ماکسول تحت تبديل ميدان هاي الکتريکي و مغناطيسي به يکديگر مي توان نشان داد که نيروي بين دو صفحه با تراوايي نامحدود، جاذبه و برابر با نيروي کازيمير بين دو صفحه رساناي کامل است. نيروي بين يک جسم دي الکتريک و يک جسم تراوا منجر به نيروي وان در والس از نوع دافعه مي شود که نتيجه آن نيروي دافعه بين صفحه رساناي کامل و يک صفحه با تراوايي نامحدود مي باشد[15].
در سال 1997 هاش واتر با استفاده از رهيافت فشار تابشي ميدان، نشان داد که نيروي بين يک صفحه رساناي کامل و يک صفحه با تراوايي نامحدود دافعه و برابر با FB است[16].
در واقع در مسئله يک صفحه رساناي کامل و يک صفحه با تراوايي نامحدود، چگالي طيف مدها در داخل کاواک نسبت به چگالي طيفي مدها در داخل دو صفحه موازي رساناي کامل، تغيير کرده و باعث دافعه شدن نيروي بين يک صفحه رساناي کامل و يک صفحه با تراوايي نامحدود مي شود[12]. بسامد مدهاي مجاز بين يک صفحه رساناي کامل و يک صفحه با تراوايي نامحدود به صورت زير است:
(1-18)
به خاطر تفاوت در رابطه(1- 17) و



قیمت: تومان


پاسخ دهید