دانشگاه آزاد اسلامي
واحد تهران مرکزي
دانشکده علوم پايه
پايان نامه براي دريافت درجه کارشناسي ارشد (M.Sc. )
گرايش : فيزيک نجومي
عنوان : پيشرفت هاي اخير در مدل هاي تورمي
استاد راهنما : دکتر فرهاد دارابي
استاد مشاور : دکتر سپهر اربابي بيدگلي
پژوهشگر : هادي پورجوادي يوسف آباد
تابستان 1393
اين پايان نامه تقديم مي شود به همه معلماني که شمع وجودشان روشنگر راه حقيقت است.
به نام هستي بخش
اين پايان نامه تلاشي کوچک در راه گسترش علم است، با اين همه فرصتي بزرگ بود تا بتوانم از ديدگاهي عميق تر و دقيق تر به علم زيباي فيزيک بنگرم. در اين جا بايد سپاسگزار باشم از:
جناب آقاي دکتر فرهاد دارابي که با وجود مشغله بسيار زياد قبول زحمت فرمودند و راهنمايي اين پايان نامه را قبول کردند.
جناب آقاي دکتر سپهر اربابي، معلمي که علاوه بر آموزش مباحث علمي، شيوه مطالعه و تحقيق را به من آموخت و از مشاوره و راهنمايي و دلگرمي ايشان در طول نگارش اين پايان نامه هميشه بهره مند بودم.
از خانم دکتر رقيه حاجي بلند، خاله عزيز و مهربانم که پاسخ گوي سوالات من بودند نيز نهايت سپاس را دارم.
جا دارد تا از همکاري و کمک هاي برادر عزيزم آقاي حامد پورجوادي هم تشکر و قدر داني کنم.
هم چنين يادي مي کنم از معلم فقيدم، مرحوم چاپاني که علاقه به فيزيک را در دوران دبيرستان در من به وجود آورد.
عرض ادب و احترام دارم خدمت استاد جواد شکوري که مسائلي وراي فيزيک را به من آموخت.
و در نهايت بايد از پدر بزرگوار و مادر مهربانم که در همه مراحل زندگي مديون محبت ها و دلسوزي هاي آنها هستم تشکر کنم و دست هر دوي آنها را به رسم ادب ببوسم.
با آرزوي آبادي و پيشرفت سرزمين زيبايم.
تعهد نامه اصالت پايان نامه کارشناسي ارشد
اينجانب دانش آموخته مقطع کارشناسي ارشد ناپيوسته به شماره دانشجويي در رشته که در تاريخ
از پايان نامه خود تحت عنوان :
با کسب نمره و درجه دفاع نموده ام بدينوسيله متعهد مي شوم:
اين پايان نامه حاصل تحقيق و پژوهش انجام شده توسط اينجانب بوده و در مواردي که از دستاوردهاي علمي و پژوهشي ديگران (اعم از پايان نامه ،کتاب ،مقاله و…) استفاده نموده ام ، مطابق ضوابط و رويه هاي موجود ، نام منبع مورد استفاده و ساير مشخصات آن را در فهرست ذکر و درج کرده ام.
اين پايان نامه قبلاً براي دريافت هيچ مدرک تحصيلي (هم سطح ،پايين تر يا بالاتر )در ساير دانشگاهها و موسسات آموزش عالي ارائه نشده است.
چنانچه بعد از فراغت ازتحصيل ، قصد استفاده و هر گونه بهره برداري اعم از چاپ کتاب،
ثبت اختراع و …. از اين پايان نامه داشته باشم ، از حوزه معاونت پژوهشي واحد مجوزهاي مربوطه را اخذ نمايم.
چنانچه در هر مقطع زماني خلاف موارد فوق ثابت شود ، عواقب ناشي از آن را بپذيرم و واحد دانشگاهي مجاز است با اينجانب مطابق ضوابط و مقررات رفتار نموده و در صورت ابطال مدرک تحصيلي ام هيچگونه ادعايي نخواهم داشت.
نام و نام خانوادگي :
تاريخ و امضاء
بسمه تعالي
در تاريخ :
دانشجوي کارشناسي ارشد آقاي/خانم از پايان نامه خود دفاع نموده و با نمره بحروف و با درجه
مورد تصويب قرار گرفت .
بسمه تعالي
دانشکده علوم پايه
(اين چكيده به منظور چاپ در پژوهش‌نامه دانشگاه تهيه شده است”
نام واحد دانشگاهي: تهران مركزي کد واحد: 101كد شناسايي پايان‌نامه: عنوان پايان‌نامه: پيشرفت هاي اخير در مدل هاي تورمينام و نام خانوادگي دانشجو: هادي پورجوادي يوسف آباد
شماره دانشجوئي: 900715931
رشته تحصيلي: فيزيکتاريخ شروع پايان‌نامه:
تاريخ اتمام پايان‌نامه: استاد / استادان راهنما: دکتر فرهاد دارابي
استاد/استادان مشاور: دکتر سپهر اربابي بيدگليآدرس و شماره تلفن : 09143176673چکيده پايان نامه (شامل خلاصه، اهداف، روش هاي اجرا و نتايج به دست آمده):
مدل استاندارد کيهان شناسي دچار مشکلاتي مانند مسئله افق، مسئله تخت شدگي و مسئله تک قطبي مغناطيسي بود. سناريوي تورمي که براي اولين بار توسط ” آلن گوث” معرفي شد، توانست توجيه مناسبي براي حل اين مشکلات باشد. پس از اولين مدل تورمي، سناريوهاي گوناگون ديگري نيز ارائه شده اند. شواهد رصدي در مورد تابش ميکرو موج پس زمينه کيهاني افق هاي جديدي را بر روي کيهان شناسان و متخصصان ساير حوزه ها گشوده است. در اين تحقيق ما برخي مدل هاي مشهور تورمي را به تفصيل مورد مطالعه قرار مي دهيم.علاوه بر اين با تجزيه و تحليل شواهد رصدي اخير رصدخانه “بايسپ 2” و ماهواره “پلانک” و بااستفاده از پارامترهاي r (نسبت اختلالات تانسوري به اسکالر) و n_s (پارامتر انديس طيفي)، ميزان تطابق پيش گويي هاي برخي مدل هاي معروف با شواهد رصدي مورد بررسي و ارزيابي قرار مي گيرد.
واژگان کليدي: تورم، کيهان شناسي استاندارد، معادلات اينشتين.
مناسب است
نظر استاد راهنما براي چاپ در پژوهش‌نامه دانشگاه تاريخ و امضاء:
مناسب نيست
فهرست مطالب
مقدمه ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….1
فصل اول: مباني رياضي کيهان شناسي استاندارد…………………………………………………………………………………………………………2
1-1 کيهان شناسي ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….3
1-2 اصل کيهان شناختي ………………………………………………………………………………………………………………………………………3
1-3 استفاده از تعبير رياضي اصل کيهان شناختي براي رسيدن به مدل فريدمن …………………………………………………………….5
1-4 متريک رابرتسون- واکر ………………………………………………………………………………………………………………………………..8
1-5 معادلات اينشتين ………………………………………………………………………………………………………………………………………….13
1-6 مدل فريدمن ………………………………………………………………………………………………………………………………………………15
فصل دوم: مشکلات مدل استاندارد…………. …………………………………………………………………………………………………………..19
2-1 کيهان شناسي استاندارد ………………………………………………………………………………………………………………………………20
2-2 جهان در حال انبساط …………………………………………………………………………………………………………………………………21
2-3 مسئله تخت بودن ………………………………………………………………………………………………………………………………………24
2-4 مسئله افق ………………………………………………………………………………………………………………………………………………….25
2-5 مسئله تک قطبي مغناطيسي ………………………………………………………………………………………………………………………….26
فصل سوم: مدل تورمي “آلن گوث” رهيافتي براي برون رفت از مشکلات مدل استاندارد ……………………………………………27
3-1 مدل تورمي …………………………………………………………………………………………………………………………………………………28
3-2 ساز و کار مدل تورمي گوث ………………………………………………………………………………………………………………………..32
3-3 جهان تورمي ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….38
3-4 مشکلات سناريوي جهان تورمي گوث …………………………………………………………………………………………………………..46
فصل چهارم: مدل تورمي جديد- مدل تورمي آشوبناک……………………………………………………………………………………………..48
4-1 مدل تورمي جديد ……………………………………………………………………………………………………………………………………….49
4-2 نظريه SU(5) در مدل Coleman-Weinberg و سناريوي تورمي جديد ……………………………………………..55
4-3 سناريوي پالايش شده مدل تورمي جديد ………………………………………………………………………………………………………59
4-4 مشکلات مدل تورمي جديد …………………………………………………………………………………………………………………………64
4-5 سناريوي تورمي آشوبناک …………………………………………………………………………………………………………………………….65
4-6 مدل پايه …………………………………………………………………………………………………………………………………………………..76
4-7 شرايط اوليه ……………………………………………………………………………………………………………………………………………….82
فصل پنجم: آخرين شواهد رصدي در مورد تورم کيهاني…………………………………………………………………………………………..84
5-1 مقدمه ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….85
5-2 پتانسيل هاي درجه 2 و درجه 4 تصحيح شده تابشي ……………………………………………………………………………………….88
5-3 پتانسيل هيگز ……………………………………………………………………………………………………………………………………………..92
5-4 پتانسيل Coleman-Weinberg ……………………………………………………………………………………………………….94
5-5 پتانسيل با توان چهار همراه با جفت شدگي گرانشي غير کمينه …………………………………………………………………………97
مراجع …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….100
چکيده انگليسي………………………………………………………………………………………………………………………………………………….103
مقدمه
در سال 1915 ميلادي آلبرت اينشتين نظريه نسبيت عام خود را معرفي کرد. اين نظريه، جايگزيني براي قوانين کلاسيکي گرانش نيوتون بود. به مرور زمان اين نظريه درستي خود را با شواهد تجربي به اثبات رساند. يکي از مهم ترين کاربردهاي اين نظريه در کيهان شناسي است. بنابراين شناخت اوليه اي از نحوه کاربرد نظريه نسبيت عام در کيهان شناسي ضروري به نظر مي رسد که در اين پايان نامه به آن اشاره شده است . هم چنين مباحثي به صورت خلاصه در مورد کيهان شناسي استاندارد ارائه شده است. کيهان شناسي استاندارد استوار بر سه فرض اصلي بر اين امر اشاره دارد که جهان پس از يک انفجار مهيب اوليه ” مهبانگ” در حال گسترش است. با وجود تمام موفقيت هاي اوليه مدل استاندارد کيهان شناسي، ابهاماتي وجود داشتند که در ابتدا توجيه مناسبي براي آن ها يافت نشده بود. مدل تورمي که براي اولين بار توسط “آلن گوث” مطرح شد تلاشي جسورانه و هوشمندانه براي رفع مشکلات چند گانه ي مدل استاندارد مهبانگ بود. بر اساس سناريوي پيشنهادي “گوث” جهان در مراحل اوليه تحول خود شاهد يک انبساط بسيار سريع از نوع نمايي بوده است. مدل تورمي “گوث” با وجود بديع بودن، خود دچار ابهاماتي بود که “آندره لينده”، دانشمند روس، با ارائه مدل هاي تورمي جديد اين ابهامات را رفع کرد. مدل “لينده” بر يک انبساط نمايي فوق العاده سريع در لحظات اوليه تحول جهان تاکيد دارد. از زماني که “گوث” اولين مدل تورمي را ارائه داد، مدل هاي زيادي توسط فيزيک دانان و کيهان شناسان ارائه شده اند. با اين وجود مدل هايي ارزشمند خواهند بود که از آزمون مشاهدات رصدي نيز سربلند بيرون آيند و بتوانند پيش بيني هاي مختلف را در محدوده هاي زماني گوناگون برآورده سازند.
در اين پژوهش، پس از مطالعه برخي ازمدل هاي تورمي شناخته شده با جزئيات کافي، با استفاده از داده هاي رصدي اخير رصد خانه “بايسپ 2” و ماهواره “پلانک” ، اين مدل ها مورد بررسي و بازنگري قرار گرفته اند.
فصل اول
مباني رياضي کيهان شناسي استاندارد
1-1 کيهان شناسي
“مطالعه ديناميکي ساختار عالم به عنوان يک کل”. اين شايد ساده ترين تعريف از کيهان شناسي باشد [1].
در اين صورت ستارگان، کهکشان ها و حتي خوشه هاي کهکشاني به عنوان اجزايي در نظر گرفته مي شوند که با مطالعه آنها بتوان به روند کلي تحول عالم پي برد.
اگر بخواهيم در مورد کيهان شناسي مطالعه اي داشته باشيم، شايد بهترين روش ارائه مدل هاي رياضي باشد که با شواهد رصدي نيز سازگار باشند. نظريه نسبيت عام آلبرت اينشتين مدلي رياضي ارائه مي دهد که به تجربه ثابت شده است که مي تواند به بسياري از سوالات در مورد کيهان شناسي پاسخ دهد. با توجه به موفقيت هاي اين نظريه و کاربردهاي وسيع آن در کيهان شناسي، مطالعه اين علم بدون نظريه نسبيت اينشتين غير ممکن به نظر مي رسد.
در اين فصل سعي خواهيم کرد با تکيه بر اصل کيهان شناختي به يک مدل رياضي برسيم که اين مدل بتواند توجيه مناسبي براي بسياري از مشاهدات رصدي در کيهان شناسي باشد.
1-2 اصل کيهان شناختي1
اين اصل بر اين امر تاکيد دارد که جهان ما در مقياس بسيار بزرگ( گيگا پارسک) داراي دو ويژگي است. همگن بودن وهمسانگرد بودن [1].
همسانگردي 2
به زبان رياضي همسانگردي يعني ناوردايي تحت چرخش. يا به عبارت ديگر اگر يک ويژگي همسانگرد باشد با چرخش محورهاي مختصات اين ويژگي تغيير نخواهد کرد.
همگني3
به زبان رياضي مي توان گفت که همگني به معناي ناوردايي تحت انتقال است. يا به عبارت ديگر ويژگي مورد نظر ما با انتقال از يک مختصات به مختصات ديگر تغيير نخواهد کرد.
اما تعبير همگن بودن و همسانگرد بودن در کيهان شناسي به اين معنا است که عالم در مقياس بسيار بزرگ داراي اين ويژگي است که : عالم در تمام نقاط يکسان بنظر مي رسد واز هر جهتي که به آن نگاه کنيم اين يکسان بودن پابرجا خواهد بود. به عبارت ديگر هيچ جهت خاص و هيچ ناظر خاصي (مرجحي) وجود ندارد.
البته بايد توجه داشت که اين همگن بودن و همسانگردي به اين معنا نيست که ما با يک جهان ايستا و ساکن روبرو هستيم. جهان با گذشت زمان به حرکت وتحول خود ادامه مي دهد اما همگني و همسانگردي خود را هم حفظ مي کند .
شواهد رصدي اصل کيهان شناختي را مورد تائيد قرار ميدهند:
يکي از دلايل مهم براي همسانگردي جهان وجود تابش زمينه کيهاني CMB4 است. پنزياز5 و ويلسن6 در سال 1965 تابش زمينه کيهاني را کشف کردند [2].
آنها تابشي با دماي 2.7 درجه کلوين را رديابي کردند که از تمام جهات آسمان ساطع مي شد. اين تابش با دقت يک درصد همسانگرد است.
براي همگن بودن هم هابل7 با مشاهدات دقيق خود توانست نشان دهد که کهکشان ها با سرعتي زياد در حال دور شدن از هم هستند و مي توان با توجه به قانون معروف هابل اين همگني را در زمان هاي مختلف رديابي کرد [3].
1-3 استفاده از تعبير رياضي اصل کيهان شناختي براي رسيدن به مدل فريدمن [4] ،[5] .
بردارهاي کيلينگ8
متريک g_ab را در نظر مي گيريم. اگر بخواهيم اي متريک تحت يک انتقال مانند : x^’a ?x^a ناوردا باقي بماند بايد داشته باشيم : g_ab (x)=(?x^’c)/(?x^a ) (?x^’d)/(?x^b ) g_cd (x^’) که البته حالتي بسيار عمومي دارد.
اما اگر تمرکز خود را به يک انتقال بسيار کوچک مختصات معطوف کنيم، يعني داشته باشيم :
x^i?x^i+?^i
که انتقال از نقطه P به نقطهP^’ است. آن گاه مي توان نوشت :
g_ik (x_p^l )?g_ik (x_p^l+?_p^l )
حال تساوي به صورت زير را برقرار مي کنيم تا شرط ناوردايي را داشته باشيم :
g_mn^’=(?x^i)/(?x^’m ) (?x^k)/(?x^’n ) g_ik (x_p^l+?_p^l)
از آنجا که ?^i بسيار کوچک است مي توان با بسط تيلور و صرف نظر کردن از توان هاي بالا، معادله بالا را به صورت زير تقريب زد
(?x^i)/(?x^’m ) |_P??_m^i+?_(p,m)^i
g_ik(x^l+?_p^l)?g_ik(x^l)+?_p^l g_(ik,l)(x_p^l)
g_mn^’ (P^’ )=g_mn (P)+[?^l g_(mn,l)+?_(,m)^l g_ln+?_(,n)^l g_lm ](P)
واضح است براي اينکه در انتقال از P بهP^’ متريک ناوردا باقي بماند بايد جمله سمت راست معادله بالا صفر باشد يعني :
?^l g_(mn,l)+?_(,m)^l g_ln+?_(,n)^l g_lm= 0
صورت ديگر معادله بالا به اين شکل خواهد بود :
?_(m;n)+?_(n;m)=0
دو معادله پاياني به معادلات کيلينگ معروفند و بردار? نيز بردار کيلينگ ناميده مي شود.
اگر در فضا ـ زماني انتقالي مانند بالا صورت بگيرد و معادله کيلينگ برقرار باشد، مي توان گفت که اين فضا ـ زمان داراي تقارن9 است.
اگر فضا ـ زماني بردارهاي کيلينگ خود را داشته باشد و معادله بالا را ارضا کند مي توان گفت که يک حالت ايزومتري خواهيم داشت.
به عنوان مثال مي توان براي مختصات قطبي کروي ، ?,? معادله کيلينگ را براي ?^? و?^? نوشت و بردارهاي کيلينگ مستقل را بدست آورد.
ds^2=?d??^2+?sin?^2 ?d?^2
?^?=A sin??+B cos?? ?^?=(A cos??-B sin?? ) cot??+C
که ضرايب A ,B ,C را مي توان بدست آورد.
حال مي خواهيم همگني و همسانگردي را از نگاه ديگري تعريف کنيم [5].
همگني: يک فضا – زمان را مي توان همگن ناميد در صورتي که در آن يک حالت ايزومتري در انتقال بسيار کوچک از نقطه P به نقطه P’،که اين دو نقطه در نزديکي هم قرار دارند، برقرار باشد.
به عبارت ديگر بردار کيلينگ در نقطه P بتواند هر مقدار ممکن را بگيرد و بتوانيم در اين نقطه nبردار مستقل خطي کيلينگ را انتخاب کنيم و با انتخاب مناسب در هر نقطه X دلخواه در نزديکي Pبردار کيلينگ را نوشت.
(lim)?(X?P)???^((k) ) ? (X,P)=?_i^k (k=1,2,….,n)
مي توان با ادامه دادن اين جابجايي هاي کوچک، از نقطه P به هر نقطه دلخواه P^’ رسيد.
همسانگردي : فضا ـ زمان Mبه شرطي در نقطه داده شده Pهمسانگرد است که بردار کيلينگ ?_i در همسايگي Pوجود داشته باشد بطوريکه ?_i (P)=0 و ?_(i;k) (P) فضا را به صورت يک تانسور پاد متقارن مرتبه دو در نقطه Pپوشش دهد.
اين معادل اين است که معادله کيلينگ برابر صفر شود.
?^l g_(mn,l)+?_(,m)^l g_ln+?_(,n)^l g_lm= 0
بنابراين بايد نتيجه گرفت که اگر متريکي داشته باشيم که آن متريک به همراه بردارهاي کيلينگ خود در معادله کيلينگ صدق کند، اين فضا همگن و همسانگرد است و بالعکس.
1-4 متريک رابرتسون – واکر
با توجه به اصل کيهان شناختي، در مقياس بسيار بزرگ ما جهاني همگن و همسانگرد را مشاهده مي کنيم. همانطور که اشاره شد اين همگني و همسانگردي مي تواند به لحاظ رياضي مورد توجه قرار بگيرد. يکي از مدلهايي که مي توان براي شکل کلي جهان و روند تحول آن متصور شد، يک فضاي متقارن کروي است.
اين فضاي متقارن را مي توان به صورت يک کره در نظر گرفت. همان طور که گفته شد همگني و همسانگردي در حالت ايستا معنا دارد، يعني در طول زمان و افزايش شعاع اين همگني و همسانگردي تغيير مي کند. بنابراين مي توان حالت دو بعدي را براي اين کره در نظر گرفت که فقط ? و ? که زواياي قطبي و سمتي هستند تغيير مي کنند. از آنجا که با دو بعد سر و کار داريم بايد سه بردار کيلينگ داشته باشيم [6].
مي توان نشان دادکه اين سه بردار عبارتند از :
?_1^?=(0 , 0 ,-sin?? ,-cot?? cos?? )
?_2^?=(0 , 0 ,? cos???, ?-cot??? sin?? )
?_3^?=(0 , 0 , 0 , 1 )
اين بردارها خاصيت همسانگردي را تاييد مي کنند.
هم چنين مي توان نشان داد که عنصر خطي براي اين تقارن کروي به صورت زير است :
?ds?^2=-e^2? c^2 ?dt?^2+e^2? ?dr?^2+r^2 (?d??^2+?sin?^2 ?d?^2 )
حال براي يافتن متريک مورد نظر معادله کيلينگ را براي اين مورد حل مي کنيم
g_(??,?) ?^?+g_?? ?_( ,?)^?+g_?? ?_( ,?)^?=0
به عنوان مثال براي ?_3^? داريم :
g_(??,3)=0
و
?/?? g_??=0
براي ??=00 داريم:
g_00,2 (-sin?? )+g_00,3 (-cot?? cos?? )=0
g_00,2 ?sin?^2 ?=-g_00,3 cot?? cos?? sin??
با حل همه اين معادلات سرانجام مي توان به ماتريس زير رسيد :
g_??=(?(?(g_00 (r,t)& g_01 (r,t)@g_10 (r,t)& g_11 (r,t))&?(0 &0@0 &0)@?(0& 0@0& 0)& ?(g_22 (r,t)& 0 @0&g_22 (r,t) ?sin?^2 ?)))
و عنصر خطي به صورت زير نوشته مي شود :
?ds?^2=-g_00 (r,t) c^2 ?dt?^2+2g_01 (r,t)cdrdt+g_11 (r,t) ?dr?^2+g_22 (r,t)[?d??^2+?sin?^2 ?d?^2 ]
اين عمومي ترين متريک براي يک فضاي همسانگرد است .
همان طور که گفتيم بر اساس اصل کيهان شناختي فضا همگن است. در واقع اگر فضا حول يک نقطه همسانگرد باشد و تحت انتقال ناوردا باقي بماند همگن نيز خواهد بود.
حال بردارهاي کيلينگ را براي چرخش مي نويسيم [6] :
X_1=-z ?/?y+y ?/?z X_2=z ?/?x-x ?/?z X_3=-y ?/?x+x ?/?y
که در مختصات کارتزين نوشته شده است. براي مختصات قطبي کروي داريم[1] :
?_1^?=(0 ,sin?cos? ,1/r cos?cos? ,-1/r sin?/sin? )
?_2^?=(0 ,sin?sin? , 1/r cos?sin? ,1/r cos?/sin?)
?_3^?=(0 ,cos? ,-1/r sin? ,0 )
حال اگر معادله کيلينگ را در مورد بردارهاي بالا بکارببريم داريم :
g_00,1=0 ? g_00=g_00 (t)
g_22 (r,t)=A(t)r^2
g_11=1/r^2 g_22=A(t) , g_01=0
مي بينيم که همه عناصر غير قطري ماتريس g_?? صفر مي شوند و در نهايت مي توان ds را بدست آورد.
مي توان نوشت[6] :
?ds?^2=-c^2 ?dt?^2+a^2 (t)[?dr?^2+r^2 ?d??^2+r^2 ?sin?^2 ??d??^2 ]
در اين رابطه ، t يک زمان ” جهاني ” است براي کل خمينه فضا-زمان. عامل a(t) يک عامل انبساطي است که بر روي عنصر فضايي متريک عمل مي کند.
براي تفسير بهتر قسمت فضايي به روش زير عمل مي کنيم.
فضاي چهار بعدي را در نظر مي گيريم که :
?(x^1)?^2+?(x^2)?^2+?(x^3)?^2+?(x^4)?^2= b^2
که x^? معرف همان مختصات کارتزين است.
توجه داشته باشيم که در اينجا x^4 زمان نيست. اين شبيه يک کره چهار بعدي با شعاع b^2 است.
حال معادل اين را در مختصات کروي مي نويسيم.
x^1=b sin?? sin?? cos??
x^2=b sin?? sin?? sin??
x^3=b sin?? cos??
x^4=b cos??
مجددا براي برقراري شرط همسانگردي ( که شرط همگني را هم در پي خواهد داشت) بردارهاي کيلينگ را بدست مي آوريم. اين بردارها براي ناوردايي تحت چرخش که متضمن همسانگردي است عبارتند از :
?_1=x^2 ?/??x?^3 -x^3 ?/??x?^2 ?_2=x^3 ?/??x?^1 -x^1 ?/??x?^3 ?_3=x^1 ?/??x?^2 -x^2 ?/??x?^1
با جاگذاري براي ?_1^? داريم :
?_1^?=sin??? sin?? ? sin?? (0 , cos?? cos?? , sin??/sin?? ,0 )-sin?? cos?? (0 ,cos?? sin?? sin??? ,(cos?? sin??)/sin?? ? ,cos??/(sin?? sin?? ))
که در نهايت مي رسيم به :
?_1^?=(0 , 0 ,-sin?? ,-cot?? cos?? )
که همان نتيجه قبلي است. به همان روش قبلي مي توانيم ?ds?^2 را بنويسيم :
?ds?^2=-c^2 ?dt?^2+a^2 (t)[?d??^2+?sin?^2 ??d??^2+?sin?^2 ??sin?^2 ??d??^2 ]
از آنجا که ?sin?^2 ?=r^2/a^2 ، که b همان شعاع کره چهار بعدي در نظر گرفته شده است، و اينکه ?d??^2=?dr?^2/(r^2-b^2 ) بنابراين مي توان نوشت :
?ds?^2=-c^2 ?dt?^2+a^2 (t)[dr/(1-r^2/b^2 )+r^2 ?d??^2+r^2 ?sin?^2 ??d??^2 ]
هم چنين مي توان اين کره چهاربعدي را در فضاي مختلط نوشت :
?(x^4)?^2-?(x^1)?^2-?(x^2)?^2-?(x^3)?^2= b^2
که در آن صورت داريم:
x^1=b sin?h? sin?? cos??
x^2=b sinh?? sin?? sin??
x^3=b sinh?? cos??
x^4=b cosh??
و با جاگذاري sin?sinh وcos?cosh خواهيم داشت:
?ds?^2=-c^2 ?dt?^2+a^2 (t)[dr/(1+r^2/b^2 )+r^2 ?d??^2+r^2 ?sin?^2 ??d??^2 ]
و سرانجام مي توان نوشت :
?ds?^2=-c^2 ?dt?^2+a^2 (t)[dr/(1-?kr?^2 )+r^2 ?d??^2+r^2 ?sin?^2 ??d??^2 ]
که kمقادير 1 و 0 و 1- را مي گيرد که به ترتيب نشانگر جهاني بسته،تخت و يا باز خواهد بود.
اين متريک نشان دهنده جهاني همگن وهمسانگرد است. عامل a^2 (t) توصيف کننده گسترش فضا است. اين متريک به متريک رابرتسون – واکر 10 معروف است.
1-5 معادلات ميدان اينشتين [6]
بي شک معادلات ميدان اينشتين يکي از مهمترين عناصر تشکيل دهنده کيهان شناسي مدرن مي باشد.
اينشتين به اين موضوع فکر مي کرد که تانسور انرژي- تکانه بايد به عنوان منبع گرانش عمل کند. يا به زبان اصل ماخ11 اين توزيع ماده (انرژي) است که هندسه را مشخص مي کند.
او ابتدا اين معادله را نوشت :
R_??=kT_??
R_?? تانسور انرژي – تکانه و R_?? تانسور ريچي است که معرف هندسه مورد نظر ما است.
معادله ميدان اينشتين را مي توان تعميم نسبيتي معادلات لاپلاس و پوواسون ( در عدم حضور يا حضور ماده ) تلقي کرد.
در حالت خلا مي توان نوشت :
R_??=0
و اگر بخواهيم شکل معادله پوواسون را داشته باشد به اين صورت زير نوشته مي شود
R_??=kT_??
مشکل معادله بالا اين است که اگر بخواهيم قانون پايستگي را بنويسيم داريم : T_(;?)^??=0
اما براي R_(;?)^???0 است. بنابراين اينشتين فرم ديگري براي سمت چپ معادله خود انتخاب کرد:
G^??=R^??-1/2 g^?? R=kT^??
ضريب k را هم مي توان به تشابه با معادله پوواسون ?^2 ?=4?G?_0 ، به صورت 8?G/c^2 نوشت.
بنابراين فرم نهايي معادله اينشتين به اين صورت است:

G_??=8?G/c^2 T_??
1-6 مدل فريدمن 12
در اين قسمت مي خواهيم حل معادلات اينشتين را براي متريک رابرتسون – واکر بدست آوريم.
اگر متريک مورد نظر g_?? را براي متريک رابرتسون – واکر بنويسيم، مولفه هاي غير قطري صفر خواهند شد. و براي مولفه هاي قطري داريم[4] :
g_00=1
g_11=(-a^2)/(1-kr^2 )
g_22=-a^2 r^2
g_33=-a^2 r^2 ?sin?^2 ?
g=g_00 g_11 g_22 g_33=-(a^6 r^4 ?sin?^2 ?)/(1-kr^2 )
?(-g)=(a^3 r^2 sin?)/?(1-kr^2 )
حال بايد ? ها ،يا همان ضرايب اتصال را پيدا کنيم.
?_kl^i=1/2 g^im (g_(ml,k)-g_(lm,k)-g_(kl,m) )=?_lk^i
?_01^1=?_02^2=?_03^3=1/c a ?/a
?_11^0=(aa ?)/(c(1-kr^2)) , ?_22^0=(aa ?r^2)/c , ?_33^0=(aa ?r^2 ?sin?^2 ?)/c
?_11^1=k/(1-kr^2 ) , ?_12^2=?_13^3=1/r , ?_22^1=-r(1-kr^2)
?_33^1=-r(1-kr^2)?sin?^2 ? , ?_33^2=-sin?cos? , ?_23^3=cot?
حال به محاسبه R_?? ها مي پردازيم :
R_??=(?^2 ln?(-g))/(?x^? ?x^? )-(??_??^l)/(?x^l )+?_?n^m ?_?m^n-?_?l^l (? ln?(-g))/(?x^l )
و داريم :
R_00=3/c^2 a ?/a R_11=R_22=R_33=1/c^2 (a ?/a+(2a ?^2+2kc^2)/a^2 )
براي محاسبه اسکالر ريچي داريم :
R=g^?? R_?? ?(?? ) R=6/c^2 (a ?/a+(?2a ??^2+kc^2)/a^2 )
حال مي توانيم G_?? را داشته باشيم :
G_??=R_??-1/2 Rg_??
G_00=-3/c^2 ((a ?^2+kc^2)/a^2 )
G_11=G_22=G_33=-1/c^2 (a ?/a+(a ?^2+kc^2)/a^2 )
که سمت چپ معادله اينشتين بدست مي آيد.
حالا بايد T_?? را بدست بياوريم. همان طور که ديديم بنابر اصل کيهان شناختي جهان همگن است.
اين بدين معني است که توزيع ماده در جهان از توزيع يک سيال کامل تبعيت مي کند وبنابراين تانسور T_?? را مي توان به صورت زير نوشت:
T_??=p/c^2 g_??+(?+p/c^2 )u_? u_?
که p فشار و ? چگالي است.
و خواهيم داشت :
T_00=?
T_11=T_22=T_33=p/c^2
که در اين جا داريم :
T_ij=0 i?j , T_0i=0
با قرار دادن T_?? ها در سمت راست معادله اينشتين داريم :

(?a ?/a)?^2=8?G/3 ?-(KC^2)/R^2

a ?/a=-4?G/3(?+3p)

معادلات فريدمن وشتاب کاربردهاي مهمي در کيهان شناسي دارند.
در اين فصل ما با ارائه اصل کيهان شناختي سعي کرديم تا مدل رياضي مورد تائيد اين اصل را مطرح کنيم. متريک رابرتسون – واکر نيز مبتني بر اين اصل بدست مي آيد. سرانجام با تکيه بر اين متريک، معادلات اينشتين را براي اين مورد خاص حل کرديم و به معادلات فريدمن و شتاب رسيديم.

فصل دوم
مشکلات مدل استاندارد
2-1 کيهان شناسي استاندارد
همان طور که گفته شد، کيهان شناسي به مطالعه ديناميکي ساختار عالم به عنوان يک کل علاقه مند است. از سوي ديگر يکي از اهداف کيهان شناسي يافتن پاسخي براي چگونگي آغاز جهان است.ديدگاه هاي متفاوتي در مورد چگونگي و نحوه بوجود آمدن کائنات در ميان فيزيکدانان وجود داشته است.
اما سرانجام نظريه معروف مهبانگ يا همان انفجار بزرگ اوليه توانست توجه همگان را به سوي خود جلب کند و امروز مي توان گفت که يک مدل استاندارد و پذيرفته شده براي توجيه چگونگي آفرينش عالم است.
بر اساس اين نظريه عالم کنوني ما حدود چهارده ميليارد سال پيش با انفجاري بسيار بسيار بزرگ به وجود آمده است. پس از اين انفجار که از نقطه اي بي نهايت داغ و متراکم شروع شده است، عالم شروع به گسترش کرده و هر آنچه که امروز وجود دارد نتيجه آن انفجار اوليه است.
همان طور که در فصل قبل ديديم، مدل رابرتسون ـ واکر، متريکي را معرفي کرد که يک فضاي متقارن کروي را توصيف مي کند. بر اساس اين متريک گسترش در راستاي شعاعي انجام مي شود و زواياي قطبي و سمتي پوشش دهنده اين گسترش هستند.
اشاره کرديم که که اين مدل بر اساس مشاهدات رصدي که تائيد کننده همگني وهمسانگردي عالم هستند نوشته شده است.
اين مدل به مدل استاندارد مهبانگ13 معروف شده است که بر سه اصل استوار است:
اولا اينکه فرض مي کنيم جهان ما در مقياس بزرگ همگن وهمسانگرد است.
ثانيا فرض مي کنيم که ديناميک فضا ـ زمان بر اساس معادله اينشتين توصيف مي شود.
و سرانجام اينکه توزيع ماده توسط معادله سيال کامل توصيف مي شود.
در فصل اول گفتيم که همگن بودن و همسانگرد بودن در مقياس بزرگ براي عالم توسط مشاهدات رصدي تائيد شده است وما توانستيم با تکيه بر اين خاصيت معادله اينشتين را براي متريک رابرتسون ـ واکر بنويسيم.
حال مي خواهيم به برخي از خصوصيات مدل استاندارد مروري داشته باشيم.
2-2 جهان در حال انبساط
شواهد محکمي وجود دارد که عالم در حال انبساط است. در اين صورت در زمان هاي اوليه فواصل کهکشان ها از همديگر بسيار کوچک تر از حال بوده است.
اگر ضريب مقياسي به نام a تعريف کنيم مي توانيم توصيف ساده اي از چگونگي گسترش عالم و يا همان افزايش فاصله اجزاي کيهاني داشته باشيم. مي توان چگونگي گسترش عالم را به صورت بسيار ساده در شکل زير ديد:
در اين شکل از اصطلاح فاصله همراه comoving distance استفاده شده است. همان طور که ملاحظه مي شود، فاصله همراه ثابت است اما فاصله فيزيکي ، physical distance ، با گذشت زمان افزايش مي يابد.
البته بايد توجه داشت که رابطه بين a و t در زمانهاي مختلف ممکن است متفاوت باشد.
همان طور که در فصل قبل اشاره شد، ادوين هابل با مشاهدات رصدي خود نشان داد که عالم در حال انبساط است.
او مشاهده کرد که کهکشان هاي دور دست در حال فاصله گرفتن از ما هستند. همچنين او دريافت که هر چه فاصله يک کهکشان از ما بيشتر باشد، سرعت دور شدن آن از ما نيز بيشتر خواهد بود [3].
اگر فاصله فيزيکي بين دو کهکشان را با d نشان دهيم داريم d=ax که x فاصله همراه و a ضريب مقياس است. در غياب هرگونه حرکت همراه ، سرعت نسبي يا v=d ? که برابر است با ax ?=Hd يا به عبارت ديگر:
d=ax ?(??(زماني مشتق) ) d ?=a ?x+ax ? ,a ?x?ax ?
در اين صورت a ?x=Hd که a ?x سرعت دور شدن دو کهکشان از هم است.H ثابت هابل نام دارد و برابر است با H=a ?/a . امروزه اين ثابت در حدود 70 (km?s)?MPc است.
نمودار زير که به نمودار هابل معروف است رابطه بين سرعت دور شدن و فاصله را نشان مي دهد.
نمودار 2-1 . نموداري که هابل در سال 1929 استفاده کرد. خطوط سياه بهترين تطابق را براي نقاط سياه نشان مي دهند که با توجه به حرکت خورشيد تصحيح شده اند. خطوط خط چين بهترين تطابق را براي نقاط تو خالي نشان مي دهند که بدون تصحيح توسط حرکت خورشيد نشان داده شده اند [7].
مقياسي براي سرعت دور شدن را مي توان با استفاده از انتقال به سرخ بدست آورد
Z+1=?_0/?=a_0/(a(t))
که a_0ضريب مقياس در زمان حال و a(t) ضريب مقياس در زمان مورد نظر است.
?_0 طول موج مشاهده شده و ? طول موج انتشار يافته از کهکشان هدف است.
مشاهده مي شود که هر چه قدر Z بزرگ باشد ، a(t) کوچک خواهد بود و در نتيجه H بزرگتر خواهد شد سرعت دور شدن هم با توجه به V=Hd بيشتر خواهد بود.
هم چنين اگر طيف مشاهده شده از يک کهکشان به سمت قرمز ميل کند داريم z>0
و در اين صورت a(t)>a_0 خواهد بود که نشان دهنده انبساط عالم است [7].
علاوه بر مشاهدات هابل، مدل استاندارد يا همان مدلي که بر اساس مدل فريدمن از انبساط جهان توصيف مي شود، پيش گويي خوبي در مورد وجود تابش ميکرو موج زمينه کيهاني و هم چنين چگونگي به وجود آمدن و فراواني عناصر سبک در ابتدا آفرينش عالم بدست مي دهد. با وجود موفقيت هاي اين مدل در توصيف چگونگي گسترش جهان، ابهاماتي وجود دارد که بررسي آنها يا بهتر بگوييم اين اشکالات در مدل استاندارد مهبانگ ضروري بنظر مي رسد.
2-3 مسئله تخت بودن 14
از معادله فريدمن شروع مي کنيم. اگر a ?/a را به صورت H=a ?/a نشان دهيم مي توان معادله فريدمن را اين طور نوشت:
H^2=8?G?/3-(kc^2)/a^2
اگر c=1 قرار دهيم مي توان معادله را به اين صورت نوشت:
?-1=8?G?/(3H^2 )-1=k/(H^2 a^2 )
? به پارامتر چگالي معروف است و برابر است با ?/?_(c ) که ?_c به چگالي آستانه15 معروف است.
مي دانيم که در مدل استاندارد رابطه a با زمان به صورت a?t^q است که (q<1 و به عنوان مثال q=1/2 در دوران غلبه تابش و q=2/3 در دوران غلبه ماده) بنابراين اگر در رابطه ?-1=k/(H^2 a^2 ) ، ? به سمت يک ميل کند در آن صورت k نيز به سمت صفر ميل خواهد کرد.k=0 نمايانگر حالت تخت بودن کامل فضا است. مشاهدات رصدي تائيد کننده تخت بودن هستند. به عنوان مثال در دوره معروف به هسته زايي، حدود يک ثانيه پس از انفجار بزرگ اختلاف ? با يک از مرتبه ?10?^(-16) و يا در زمان t??10?^(-11) ثانيه اين اختلاف برابر ?10?^(-27) است که نشان مي دهد جهان در لحظات اوليه بسيار تخت بوده است [8].
مدل استاندارد مهبانگ پاسخ قانع کننده اي به اين تخت بودن يا به عبارت ديگر اين تنظيم دقيق براي ? ندارد.
2-4 مسئله افق 16
شايد يکي از اساسي ترين مشکلات در کيهان شناسي استاندارد، مسئله افق باشد. افق به بيشترين فاصله اي که توسط يک پرتو نور مي تواند پوشش داده شود گفته مي شود.
امواج ميکرو موج پس زمينه کيهاني از تمام نقاط آسمان ساطع مي شوند و نکته جالب اين است که اگر به هر سمت از آسمان نگاه کنيم اين امواج را با طيف تابش يک جسم سياه در حدود 2.7 درجه کلوين مي توان رديابي و رصد کرد. شايد بتوان اين گونه توجيه کرد که تمام نقاط جهان در يک تعادل گرمايي با هم هستند. اما در نظريه استاندارد مهبانگ نميتوان چنين توجيهي را پذيرفت چرا که زمان کافي براي نقاط دوردست از هم وجود ندارد که بتوانند پيش از آنکه فوتون ها از آنها ساطع شوند به تعادل گرمايي برسند.
اگر به رابطه مقابل نگاه کنيم :
?_(t_*)^(t_dec)?dt/(a(t))??_(t_dec)^(t_0)?dt/(a(t))
مي بينيم فاصله اي که نور مي توانسته از زمان آغاز انفجار بزرگ،t_* ، تا زمان برخورد آخرين فوتون ها با ذرات که در زمان هاي اوليه عالم و در زمان غلبه تابش اتفاق افتاده، بسيار کوتاه تر از فاصله اي است که از زمان اين تجزيه، t_dec ، تا به امروز صورت گرفته است. به عبارت ديگر زماني که نور مي توانسته قبل از آخرين برخوردها17 که در واقع همان زمان توليد تابش ميکرو موج زمينه کيهاني است طي کند، بسيار کوتاه بوده و فرصتي براي هم دمايي وجود نداشته است [8].
چگونه نقاط مختلف عالم توانسته اند به اين دقت و همگني هم دما شوند و تابش CMB را در تمام نقاط به صورت يکسان داشته باشيم؟
2-5 مسئله تک قطبي مغناطيسي 18
يکي ديگر از مواردي که با پيش گويي نظريه کلاسيک انفجار بزرگ در تناقض است، مسئله تک قطبي مغناطيسي است.
نظريه وحدت بزرگ يا GUT ، وجود ذره اي با بار مغناطيسي خالص و جرم بسيار زياد در حدود ?10?^16 جرم الکترون را پيش گويي مي کند. يکي از شرايط به وجود آمدن چنين ذره اي حرارت بسيار بالا در حدود T=?10?^17 Gev است که اين شرايط در زمانهاي اوليه عالم وجود داشته است. اما چنين ذره اي تا کنون مشاهده نشده است [9] .
نظريه کلاسيک انفجار بزرگ با وجود موفقيت هاي زياد از جمله پيش بيني و توجيه وجود تابش پس زمينه ميکرو موج کيهاني و يا روند تشکيل عناصر سبک، با ابهاماتي مواجه است. نظريه تورم که در بخش بعد به آن خواهيم پرداخت مي تواند توجيه مناسبي براي اين ابهامات باشد.
فصل سوم
مدل تورمي “آلن گوث”، رهيافتي براي برون رفت
از مشکلات مدل استاندارد
3-1 مدل تورمي
وجود مشکلات و ابهاماتي که مدل استاندارد کيهان شناسي را درگير کرده بود منجر به ارائه مدل تورمي شد.
اولين مدل را آلن گوث 19در سال 1980 ارائه داد [10]. از آن زمان مدل هاي ديگري براي



قیمت: تومان


پاسخ دهید